5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой DM, если D (-3; 20; -4), M (9; 24; 16). 6. Дан куб ABCDABC,D ребро которого равно 1 см. На диагонали AC его грани отметили точку Fтак, что AF : FC = 3 : 7. 1) Выразите вектор ВF через векторы В.А.- В.С, и В.В. 2) Найдите модуль вектора ВF.

Давайте разберём оба задания по порядку.

Задание 5

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой DM.

1. Найдём вектор DM. Для этого вычтем координаты точки D из координат точки M: \[ DM = M - D = (9 - (-3), 24 - 20, 16 - (-4)) = (12, 4, 20) \]

2. Определим уравнение плоскости. Плоскость, перпендикулярная вектору \( DM \) и проходящая через точку D, может быть записана в виде: \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \] где \( (n_x, n_y, n_z) \) — это координаты нормального вектора (вектора DM), а \( (x_0, y_0, z_0) \) — это координаты точки D.

   Подставим наши значения: \[ 12(x + 3) + 4(y - 20) + 20(z + 4) = 0 \]

3. Раскроем скобки и упростим: \[ 12x + 36 + 4y - 80 + 20z + 80 = 0 \\ 12x + 4y + 20z + 36 = 0 \] Таким образом, уравнение плоскости в упрощённом виде: \[ 12x + 4y + 20z = -36 \]

Задание 6

1. Вектор BF через вектора BA и BC. Сначала находите вектора BA и BC.

   Вектора:

   • \( \vec{BA} = A - B \)
   • \( \vec{BC} = C - B \)

   Пусть: \[ A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0) \]

   Вычислим: \[ \vec{BA} = (0 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-1, 0, 0) \\ \vec{BC} = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0) \\ \vec{BF} = k \cdot \vec{BA} + m \cdot \vec{BC} \]

   Для точки F (согласно соотношению 3:7) на AC: \[ F = \frac{3C + 7A}{3 + 7} = \frac{3(1, 1, 0) + 7(0, 0, 0)}{10} = \left( \frac{3}{10}, \frac{3}{10}, 0 \right) \] Теперь \( BF \) можно выразить следующим образом: \[ \vec{BF} = F - B = \left( \frac{3}{10} - 1, \frac{3}{10} - 0, 0 - 0 \right) = \left( -\frac{7}{10}, \frac{3}{10}, 0 \right) \]

2. Найдём модуль вектора BF. Модуль вектора можно найти по формуле: \[ |\vec{BF}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{\left(-\frac{7}{10}\right)^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2 + 0^2} \]

   Подставляем значения: \[ |\vec{BF}| = \sqrt{\frac{49}{100} + \frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{58}{100}} = \frac{\sqrt{58}}{10} \]

Таким образом, у нас есть:

1. Уравнение плоскости: \( 12x + 4y + 20z = -36 \)
2. Вектор \( \vec{BF} \) и его модуль: \( \vec{BF} = \left( -\frac{7}{10}, \frac{3}{10}, 0 \right) \) и \( |\vec{BF}| = \frac{\sqrt{58}}{10} \).

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!