1. Точка D - середина отрезка FK. Найдите координаты точки D и длину отрезка FK, если F (6; -3; 2), K (4; 1; 4). 2. Точки В и С симметричны относительно точки М. Найдите координаты точки В, если С (9; -5; 6), М (3; 0; -2). 3. Даны векторы m (4; -1; 2) и n (-2; 1; 0). Найдите: 1) координаты вектора а = -2m + 5n; 2) косинус угла между векторами т и п. Даны векторы a (1; -2; 3) и с (7; m; 21). При каком значении т векторы а и с: I) коллинеарны; перпендикулярны?
Здравствуйте! Давайте разберём ваши задачи по шагам.
Координаты точки D и длина отрезка FK:
Точка D является серединой отрезка FK. Чтобы найти координаты D, используем формулу для координат середины отрезка: \[ D\left( \frac{x_F + x_K}{2}, \frac{y_F + y_K}{2}, \frac{z_F + z_K}{2} \right) \] Подставляем координаты точек F (6; -3; 2) и K (4; 1; 4): \[ D\left( \frac{6 + 4}{2}, \frac{-3 + 1}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = D\left( \frac{10}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{6}{2} \right) = D(5; -1; 3) \]
Теперь найдем длину отрезка FK по формуле: \[ FK = \sqrt{(x_K - x_F)^2 + (y_K - y_F)^2 + (z_K - z_F)^2} \] Подставляем значения: \[ FK = \sqrt{(4 - 6)^2 + (1 - (-3))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]
Таким образом, координаты точки D: (5; -1; 3) и длина отрезка FK: \( 2\sqrt{6} \).
Координаты точки B:
Точки B и C симметричны относительно точки M. Для этого можно использовать следующую формулу: \[ B = 2M - C \] Подставляем координаты: \[ B = 2(3; 0; -2) - (9; -5; 6) = (6; 0; -4) - (9; -5; 6) = (6 - 9; 0 - (-5); -4 - 6) = (-3; 5; -10) \]
Координаты точки B: (-3; 5; -10).
Расчёт векторов:
1) Координаты вектора \( a = -2m + 5n \)
Подставляем значения векторов m (4; -1; 2) и n (-2; 1; 0): \[ a = -2(4; -1; 2) + 5(-2; 1; 0) = (-8; 2; -4) + (-10; 5; 0) = (-8 - 10; 2 + 5; -4 + 0) = (-18; 7; -4) \]
Координаты вектора \( a: (-18; 7; -4) \).
2) Косинус угла между векторами m и n.
Для нахождения косинуса угла между векторами используем формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{m \cdot n}{|m| \cdot |n|} \] Сначала находим скалярное произведение: \[ m \cdot n = 4 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -8 - 1 + 0 = -9 \]
Теперь найдем длины векторов: \[ |m| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] \[ |n| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \]
Подставляем всё в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{-9}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-9}{\sqrt{105}} \]
Коллинеарность и перпендикулярность векторов a и c:
Векторы a и c коллинеарны, если: \[ c = k \cdot a \quad (k \in \mathbb{R}) \] Это значит, что координаты c (7; m; 21) должны быть пропорциональны координатам a (1; -2; 3). У нас есть система: \[ \frac{7}{1} = \frac{m}{-2} = \frac{21}{3} \] Отсюда: \[ 7 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 7, \quad -2k = m \Rightarrow m = -14, \quad 3k = 21 \Rightarrow k = 7 \] Таким образом, для коллинеарности m должно быть равно -14.
Векторы a и c перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: \[ a \cdot c = 1 \cdot 7 + (-2) \cdot m + 3 \cdot 21 = 0 \] Подставляем: \[ 7 - 2m + 63 = 0 \Rightarrow 70 - 2m = 0 \Rightarrow m = 35 \]
Таким образом, для векторов a и c:
- они коллинеарны при \( m = -14 \);
- перпендикулярны при \( m = 35 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
