Докажи, что четырёхугольник ABC является прямоугольником найдя его площадь, если A(14; 2), B(18; 6), C(14; 10) и D(10;6)

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем использовать свойства перпендикулярности смежных сторон и вычислить его площадь. В данном случае мы будем опираться на координаты вершин A(14; 2), B(18; 6), C(14; 10) и D(10; 6).

1. Вычислим длины сторон:

   Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   • Длина AB: \[ AB = \sqrt{(18 - 14)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

   • Длина BC: \[ BC = \sqrt{(14 - 18)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

   • Длина CD: \[ CD = \sqrt{(10 - 14)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

   • Длина DA: \[ DA = \sqrt{(14 - 10)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

2. Проверим перпендикулярность смежных сторон:

   Чтобы стороны были перпендикулярны, скалярное произведение их векторов должно быть равно нулю.

   • Вектор AB: \( (18 - 14; 6 - 2) = (4; 4) \)
   • Вектор AD: \( (14 - 10; 2 - 6) = (4; -4) \)

   Скалярное произведение: \[ AB \cdot AD = 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) = 16 - 16 = 0 \]

   Это означает, что стороны AB и AD перпендикулярны.

   Проделаем аналогичные вычисления для BC и CD:

   • Вектор BC: \( (14 - 18; 10 - 6) = (-4; 4) \)
   • Вектор CD: \( (10 - 14; 6 - 10) = (-4; -4) \)

   Скалярное произведение: \[ BC \cdot CD = (-4)(-4) + (4)(-4) = 16 - 16 = 0 \]

   Существует также перпендикулярность между BC и CD.

3. Вычислим площадь четырёхугольника:

   Площадь прямоугольника может быть вычислена по формуле: \[ S = AB \cdot AD \]

   Поскольку длины сторон равны \( 4\sqrt{2} \), получим: \[ S = (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) = 32 \]

Теперь, если мы подтвердили перпендикулярность смежных сторон и равенство противолежащих сторон, можем сказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, а его площадь составляет 32 квадратных единицы.