4 в 16 степени + 2 в 14 степени - 8, записали в системе сясления с основанием 2, сколько цифр 1 содержится в этой записи?
Чтобы решить задачу, начинаем с вычисления выражения \( 4^{16} + 2^{14} - 8 \).
Преобразуем выражение:
- \( 4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32} \)
- \( 2^{14} = 2^{14} \)
- \( 8 = 2^3 \)
Теперь подставим это обратно в выражение: \[ 2^{32} + 2^{14} - 2^3 \]
Объединим все слагаемые: \[ 2^{32} + 2^{14} - 2^3 = 2^{32} + 2^{14} - 8 \]
Преобразуем все слагаемые к общей степени: \[ 2^{32} + 2^{14} - 2^{3} = 2^{32} + 2^{14} - 2^{3} = 2^{32} + 2^{14} - 8 \]
Теперь у нас есть выражение в двоичной системе. Сначала мы заметим, что \( 2^{32} \) - это единица, за которой следуют 32 нуля в двоичной записи.
Теперь о \( 2^{14} \), который будет предшествовать 14 нулям. В результате, когда мы складываем \( 2^{32} \) и \( 2^{14} \), в двоичной системе они не переносятся, и таким образом, это будет выглядеть как:
1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (2^{32})
+ 1 0000 0000 0000 (2^{14})
-----------------------------------------------
1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
- После вычитания \( 2^{3} \) (в двоичной записи это будет \( 1000 \)), нам нужно вычесть 1000 из конечного результата. Мы получим:
1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
- 0 0000 0000 0000 0000 0000 1000
-----------------------------------------------
1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (при вычитании мы просто меняем 3 нуля в 0, что происходит без переноса)
В двоичной системе у нас получается:
1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
- Теперь подсчитаем количество единиц в итоге:
- Здесь мы видим одну единицу в начале, и все остальное — нули.
Таким образом, в двоичной записи выражения \( 4^{16} + 2^{14} - 8 \) содержится 1 единица.
