Две бригады, работая вместе, могут покрасить фасад дома за 32 часа. За сколько часов может выполнить эту работу каждая бригада, работая самостоятельно если одной из них надо на 48 часов меньше, чем другой?

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько времени понадобиться каждой бригаде для покраски фасада дома, если одна бригада работает быстрее другой.

Предположим, что время, необходимое одной бригаде, обозначим как \( x \) часов. Тогда время, необходимое другой бригаде, будет \( x - 48 \) часов (так как одной бригаде нужно на 48 часов меньше).

Согласно известной информации, совместная работа обеих бригад занимает 32 часа. Мы можем выразить работу, выполняемую каждой бригадой в часах:

• Первая бригада выполняет работу со скоростью \( \frac{1}{x} \) части работы в час.
• Вторая бригада выполняет работу со скоростью \( \frac{1}{x - 48} \) части работы в час.

Когда они работают вместе, их совокупная скорость составляет:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 48} = \frac{1}{32}. \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 32x(x - 48) \):

\[ 32(x - 48) + 32x = x(x - 48). \]

Раскроем скобки:

\[ 32x - 1536 + 32x = x^2 - 48x. \]

Соберем все термины в одну сторону:

\[ x^2 - 48x - 64x + 1536 = 0, \]

что упрощается до:

\[ x^2 - 112x + 1536 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-112)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1536 = 12544 - 6144 = 6400. \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{112 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{112 \pm 80}{2}. \]

Это дает нам два значения:

\[ x_1 = \frac{192}{2} = 96,\quad x_2 = \frac{32}{2} = 16. \]

Так как \( x \) — это время, необходимое более медленной бригаде, мы принимаем \( x = 96 \) часов. Время для второй бригады будет:

\[ x - 48 = 96 - 48 = 48 \text{ часов}. \]

Таким образом, первая бригада может покрасить фасад за 96 часов, а вторая — за 48 часов.