диаметр шаг равен 6 см через конец диаметра проведена плоскость под углом 45°, к нему Найдите площадь сечения шара этой плоскостью
Чтобы найти площадь сечения шара, проведенного плоскостью под углом 45° к диаметру, необходимо следовать нескольким шагам.
Определим радиус шара: Диаметр шара равен 6 см, следовательно, радиус \( R \) будет равен: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]
Характеристика сечения: Когда плоскость проходит через центр шара под углом, она будет пересекаться с шаром, образуя сечение в виде круга. Площадь этого сечения зависит от расстояния от центра шара до плоскости.
Расстояние от центра до плоскости: Поскольку плоскость проведена под углом 45°, высота от центра до плоскости составит \( h = R \cdot \sin(45°) \). Так как \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), мы вычисляем высоту: \[ h = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} \]
Радиус окружности сечения: Чтобы найти радиус окружности сечения \( r \), мы можем использовать теорему Пифагора. В этой ситуации: \[ r = \sqrt{R^2 - h^2} \] Подставим значения: \[ r = \sqrt{3^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{18}{4}} = \sqrt{9 - 4.5} = \sqrt{4.5} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Площадь сечения: Площадь круга \( S \) с радиусом \( r \) можно вычислить по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Подставляя \( r \): \[ S = \pi \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь сечения шара этой плоскостью составляет \( \frac{9\pi}{2} \text{ см}^2 \).
