В треугольнике АВС известно, что АС=4√3см, угол С=60°, угол В=30°.Найдите сторону АВ треугольника.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла является постоянным:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
В нашем случае, известны следующие данные:
- Сторона \( AC = 4\sqrt{3} \) см
- Угол \( C = 60^\circ \)
- Угол \( B = 30^\circ \)
Сначала найдем угол \( A \) с помощью свойства суммы углов в треугольнике: \[ A + B + C = 180^\circ \] Подставляя известные углы: \[ A + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] \[ A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Теперь у нас есть все углы треугольника: \( A = 90^\circ \), \( B = 30^\circ \), \( C = 60^\circ \).
Согласно теореме синусов, можем написать: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]
Где:
- \( AB \) — искомая сторона,
- \( AC = 4\sqrt{3} \) см,
- \( \sin C = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
- \( \sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Подставим все известные значения в уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} \]
Упрощаем правую часть: \[ \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot 2 = 8\sqrt{3} \]
Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3} \]
Переписываем и решаем на \( AB \): \[ AB = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AB = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \]
Таким образом, длина стороны \( AB \) равна 12 см.
