вычислите произведение корней уравнения (x²+2)²+x⁴=20
Чтобы найти произведение корней уравнения \((x^2 + 2)^2 + x^4 = 20\), начнем с упрощения самого уравнения.
Первое, что можно заметить, это что \(x^4 = (x^2)^2\). Это позволяет нам сделать замену, обозначив \(y = x^2\). Уравнение примет вид:
\[ (y + 2)^2 + y^2 = 20 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ y^2 + 4y + 4 + y^2 = 20 \]
Упрощаем:
\[ 2y^2 + 4y + 4 - 20 = 0 \] \[ 2y^2 + 4y - 16 = 0 \]
Теперь можно упростить это уравнение, разделив его на 2:
\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Для уравнения \(ay^2 + by + c = 0\), дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \(a = 1, b = 2, c = -8\):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь находим корни по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \] \[ y_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Теперь вычислим корни:
- \(y_1 = \frac{4}{2} = 2\)
- \(y_2 = \frac{-8}{2} = -4\)
Так как \(y = x^2\), \(y_2 = -4\) не дает реальных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Оставляем только \(y_1 = 2\):
\[ x^2 = 2 \]
Отсюда получаем \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).
Теперь произведение корней уравнения \(x^2 = 2\) будет:
\[ \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2 \]
Таким образом, произведение корней данного уравнения равно \(-2\).
