log_5(2x ^ 2 - 3x + 1,2) = -1 log_(1)(2x ^2 - 7x - 6) = -24 lg ^ 2 * x - 3lgx + 2 = 0 3lg ^ 2 * x - 5lgx + 2 = 0
Давайте разберем каждое уравнение по порядку.
Первое уравнение: \( \log_5(2x^2 - 3x + 1) = -1 \)
Чтобы решить это уравнение, вспомним, что \( \log_a(b) = c \) означает, что \( b = a^c \). В нашем случае это будет:
\[ 2x^2 - 3x + 1 = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
Перепишем уравнение:
\[ 2x^2 - 3x + 1 - \frac{1}{5} = 0 \]
Умножим все на 5, чтобы избавиться от дроби:
\[ 10x^2 - 15x + 5 - 1 = 0 \implies 10x^2 - 15x + 4 = 0 \]
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 4 = 225 - 160 = 65 \]
Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{65}}{20} \]
Второе уравнение: \( \log_{1}(2x^2 - 7x - 6) = -24 \)
Поскольку основание логарифма 1, это уравнение не имеет смысла. Логарифм с основанием 1 не определяется, поэтому здесь решения нет.
Третье уравнение: \( \lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0 \)
Пусть \( y = \lg x \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно разложить:
\[ (y - 1)(y - 2) = 0 \]
Таким образом, \( y = 1 \) или \( y = 2 \). Поскольку \( y = \lg x \), получается:
- Если \( \lg x = 1 \), то \( x = 10^1 = 10 \).
- Если \( \lg x = 2 \), то \( x = 10^2 = 100 \).
Таким образом, решения для этого уравнения: \( x = 10 \) и \( x = 100 \).
Четвертое уравнение: \( 3 \lg^2 x - 5 \lg x + 2 = 0 \)
Опять же, используем замену \( y = \lg x \):
\[ 3y^2 - 5y + 2 = 0 \]
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \]
Положительный дискриминант дает два корня:
\[ y_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6} \]
Таким образом, корни будут:
- \( y_1 = \frac{6}{6} = 1 \) (то есть \( x = 10 \))
- \( y_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (то есть \( x = 10^{\frac{2}{3}} \))
В итоге, решения для этого уравнения: \( x = 10 \) и \( x = 10^{\frac{2}{3}} \).
Итак, мы рассмотрели все уравнения. Если вам нужно больше информации или разъяснений по какому-либо из них, не стесняйтесь задавать вопросы!
