Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа он написал на коробках. Оказалось, что было написано 8 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках?

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас есть 8 коробок, в каждой из которых как минимум один синий и один красный шар. Обозначим количество синих шаров в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных - как \( r_i \). Тогда разница между количеством шаров разных цветов в каждой коробке выглядит так:

\[ d_i = |b_i - r_i| \]

Поскольку в каждой коробке есть хотя бы один синий и один красный шар, разница \( d_i \) всегда будет положительной. Кроме того, у нас есть 8 разных чисел \( d_1, d_2, ..., d_8 \).

Для того чтобы обеспечить, что значения \( d_i \) разные и минимизировать общее количество шариков, давайте сначала определим возможные значения \( d_i \).

Пусть \( d_i = k_i \), где \( k_i \) - это разные положительные целые числа, начиная с 1 до 8, потому что должны быть 8 уникальных \( d \):

\[ d_1 = 1, \quad d_2 = 2, \quad d_3 = 3, \quad d_4 = 4, \quad d_5 = 5, \quad d_6 = 6, \quad d_7 = 7, \quad d_8 = 8. \]

Теперь, чтобы найти минимальное количество шариков, рассмотрим конструкцию для каждого \( k_i \):

Для каждой коробки можно выразить количество шариков как:

• Если \( d_i = k_i \), можно предположить, что в коробке \( i \) число синих \( b_i \) и красных \( r_i \) могут быть такими, что:
  • \( b_i = r_i + k_i \) или
  • \( r_i = b_i + k_i \).

Это даст нам минимально возможные значения \( b_i \) и \( r_i \).

1. Для \( k_1 = 1 \):
   • \( b_1 = 2, r_1 = 1\) (всего 3 шарика)
2. Для \( k_2 = 2 \):
   • \( b_2 = 3, r_2 = 1\) (всего 4 шарика)
3. Для \( k_3 = 3 \):
   • \( b_3 = 4, r_3 = 1\) (всего 5 шариков)
4. Для \( k_4 = 4 \):
   • \( b_4 = 5, r_4 = 1\) (всего 6 шариков)
5. Для \( k_5 = 5 \):
   • \( b_5 = 6, r_5 = 1\) (всего 7 шариков)
6. Для \( k_6 = 6 \):
   • \( b_6 = 7, r_6 = 1\) (всего 8 шариков)
7. Для \( k_7 = 7 \):
   • \( b_7 = 8, r_7 = 1\) (всего 9 шариков)
8. Для \( k_8 = 8 \):
   • \( b_8 = 9, r_8 = 1\) (всего 10 шариков)

Теперь сложим все минимально возможные количества шариков в каждой коробке:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52. \]

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках составляет 52.