найди область значения функции. y=-(x-2)² обоснуй свой ответ

Чтобы найти область значения функции \( y = -(x-2)^2 \), сначала необходимо понять, как выглядит эта функция.

1. Анализ функции: Функция \( y = -(x-2)^2 \) представляет собой квадратный трёхмерный параболический график, который направлен вниз, поскольку перед \( (x-2)^2 \) стоит знак минус.

2. Вертикальная симметрия: Вершина параболы находится в точке, где выражение \( (x-2)^2 \) минимально. Минимальное значение \( (x-2)^2 \) достигается, когда \( x = 2 \). В этом случае \( (x-2)^2 = 0 \), и следовательно: \[ y = -0 = 0 \]

3. Поведение функции: Так как парабола обращена вниз, для любых других значений \( x \) (когда \( x \neq 2 \)), значение \( (x-2)^2 \) будет положительным, что означает, что значение \( y \) будет отрицательным. Например:

   • Если \( x = 1 \), то \( y = -(1-2)^2 = -1 \).
   • Если \( x = 3 \), то \( y = -(3-2)^2 = -1 \).
   • Если \( x = 0 \), то \( y = -(0-2)^2 = -4 \).

4. Область значения: Таким образом, функция \( y = -(x-2)^2 \) может принимать значение от \( 0 \) (включительно, когда \( x = 2 \)) до минус бесконечности (не включая 0, так как функция падает, когда \( x \) уходит от 2).

Итак, область значения данной функции: \[ (-\infty, 0]. \]

Это означает, что значения \( y \) могут быть любыми отрицательными числами и нулём, но не превышают ноль.