x ^ 4 - 10x ^ 2 + 25 = 0 16x ^ 4 - 25x ^ 2 + 9 = 0 x ^ 6 + 7x ^ 3 - 8 = 0 x ^ 6 + 9x ^ 3 + 8 = 0

Давайте решим каждое из этих уравнений по порядку.

1. Уравнение: \( x^4 - 10x^2 + 25 = 0 \)

   Это можно упростить, введя замену \( y = x^2 \). Тогда уравнение превращается в: \[ y^2 - 10y + 25 = 0 \] Это квадратное уравнение может быть разложено на множители: \[ (y - 5)(y - 5) = 0 \] Таким образом, \( y = 5 \). Возвращаясь к переменной \( x \), мы имеем \( x^2 = 5 \), что дает: \[ x = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{5} \]

2. Уравнение: \( 16x^4 - 25x^2 + 9 = 0 \)

   Также воспользуемся заменой \( y = x^2 \): \[ 16y^2 - 25y + 9 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49 \] Теперь находим корни: \[ y = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 \pm 7}{32} \] Это дает два значения: \[ y_1 = \frac{32}{32} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{18}{32} = \frac{9}{16} \] Возвращаясь к \( x \), у нас:

   • Для \( y = 1 \): \( x^2 = 1 \) → \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
   • Для \( y = \frac{9}{16} \): \( x^2 = \frac{9}{16} \) → \( x = \frac{3}{4} \) или \( x = -\frac{3}{4} \).

3. Уравнение: \( x^6 + 7x^3 - 8 = 0 \)

   Введем замену \( z = x^3 \), тогда получим: \[ z^2 + 7z - 8 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \] Корни равны: \[ z = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2} \] Это дает: \[ z_1 = 1 \quad \text{и} \quad z_2 = -8 \] Возвращаясь к \( x \):

   • Для \( z = 1 \): \( x^3 = 1 \) → \( x = 1 \).
   • Для \( z = -8 \): \( x^3 = -8 \) → \( x = -2 \).

4. Уравнение: \( x^6 + 9x^3 + 8 = 0 \)

   Также используя замену \( z = x^3 \): \[ z^2 + 9z + 8 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \] Корни: \[ z = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 \pm 7}{2} \] Это дает: \[ z_1 = -1 \quad \text{и} \quad z_2 = -8 \] Возвращаясь к \( x \):

   • Для \( z = -1 \): \( x^3 = -1 \) → \( x = -1 \).
   • Для \( z = -8 \): \( x^3 = -8 \) → \( x = -2 \).

Теперь у нас есть все корни для данных уравнений. Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!