1. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4. А если никакая цифра не должна повторяться дважды? 2. Сколькими способами можно выбрать…

Конечно! Давайте разберем каждую задачу отдельно.

1. Сумма всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (без повторений):

   Трехзначные числа состоят из сотен, десятков и единиц. Используем цифры 1, 2, 3 и 4.

   • Число сотен может быть одной из 4-х цифр.
   • Число десятков может быть одной из оставшихся 3 цифр.
   • Число единиц может быть одной из оставшихся 2 цифр.

   Значит, количество трехзначных чисел: \[ 4 \times 3 \times 2 = 24. \]

   Теперь нам нужно найти сумму всех этих чисел. Для этого рассмотрим, сколько раз каждая цифра занимает каждую позицию (сотни, десятки, единицы).

   Каждая цифра в каждой позиции появится одинаковое количество раз:

   • В позициях сотен: каждая цифра появится в сотнях \( \frac{6}{4} = 6 \) раз.
   • В позициях десятков: каждая цифра также появится в десятках 6 раз.
   • В позициях единиц: аналогично, 6 раз.

   Сумма цифр 1, 2, 3, 4 равна \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \).

   Юзимизируем эти данные: \[ \text{Сумма сотен} = 100 \times 6 \times 10 = 6000. \] \[ \text{Сумма десятков} = 10 \times 6 \times 10 = 600. \] \[ \text{Сумма единиц} = 1 \times 6 \times 10 = 60. \]

   Общая сумма: \[ 6000 + 600 + 60 = 6660. \]

2. Сколько способов выбрать по одной карте каждой масти из 52 карт (без повторений):

   В колоде 52 карты, 4 масти: червы, бубны, трефы, пики. Мы можем выбрать по одной карте из каждой масти:

   • Для черв — 13 вариантов.
   • Для бубен — 13 вариантов.
   • Для треф — 13 вариантов.
   • Для пик — 13 вариантов.

   Итого количество способов: \[ 13 \times 13 \times 13 \times 13 = 13^4 = 28561. \]

   В случае, если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых (например, двух королей): Мы просто выбираем по одной карте из каждых мастей, поскольку каждая карта уникальна. Ответ остаётся тот же: 28561.

3. Четырехзначные числа, делящиеся на 4, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (с повторениями и без):

   Для числа, делящегося на 4, важны последние две цифры. Они должны образовать число, делящееся на 4. Возможные пары для цифр:

   • (1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 2), (4, 2), (4, 4), (5, 4).

   Если цифры могут повторяться:

   • Последние две цифры могут быть любыми из перечисленных пар.
   • Первая и вторая цифры могут быть любыми из 5 цифр.

   Для каждой из 12 пар последних двух цифр: \[ 5 \times 5 = 25. \] \[ 12 \times 25 = 300. \]

   Если цифры не повторяются:

   • Последние две цифры могут быть выбраны из уникальных наборов данным выше. Далее для первой и второй цифр у нас остаётся только 3 цифры (можно использовать только оставшиеся).

   Соответственно, ответ будет меньше, по аналогии: Для 6 пар: \[ 3 \times 2 = 6. \] \[ 6 \times 6 = 36. \]

4. Сколько способов установить очередность выступлений при условии, что В не может выступать раньше А:

   Без ограничений количество способов для 4 докладчиков: \[ 4! = 24. \]

   Так как В не может выступать раньше А, делим количество решений на 2: \[ 24 / 2 = 12. \]

5. Количество способов выложить на стол несколько книг (хотя бы две):

   Для 5 книг: Мы можем выкладывать 2, 3, 4 или 5 книг на стол. Общее количество способов определения порядка — это факториал, что дает:

   • При выборе 2 книг: \( C(5,2) \times 2! = 10 \times 2 = 20. \)
   • При выборе 3 книг: \( C(5,3) \times 3! = 10 \times 6 = 60. \)
   • При выборе 4 книг: \( C(5,4) \times 4! = 5 \times 24 = 120. \)
   • При выборе 5 книг: \( C(5,5) \times 5! = 1 \times 120 = 120. \)

   Суммируем все способы: \[ 20 + 60 + 120 + 120 = 320. \]

Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам! Если у вас есть еще вопросы или нужно что-то более подробно разобрать, дайте знать!