Составить уравнение касательной к гиперболе y=1/x в точке 1;1

Для того чтобы составить уравнение касательной к гиперболе \( y = \frac{1}{x} \) в точке \( (1, 1) \), нам нужно сначала найти производную функции, чтобы получить наклон касательной в этой точке.

1. Найдем производную функции:

\[ y = \frac{1}{x} \]

Используя правило для производной дроби, получаем:

\[ y' = -\frac{1}{x^2} \]

2. Найдем наклон касательной в точке (1, 1):

Подставим \( x = 1 \) в производную:

\[ y'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \]

Таким образом, наклон касательной в точке \( (1, 1) \) равен \(-1\).

3. Запишем уравнение касательной:

Уравнение касательной можно записать в форме:

\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

где \( (x_0, y_0) = (1, 1) \) — точка касания, а \( m \) — наклон касательной.

Подставляем значения:

\[ y - 1 = -1(x - 1) \]

Теперь упрощаем это уравнение:

\[ y - 1 = -x + 1 \]

\[ y = -x + 2 \]

Итак, уравнение касательной к гиперболе \( y = \frac{1}{x} \) в точке \( (1, 1) \) можно записать как:

\[ y = -x + 2 \].

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этой теме или другим учебным материалам, не стесняйтесь задавать!