. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка Н так, что AH = 9 HC = 12 Площадь треугольника АВС равна 63. Найдите площадь треугольника АВН. (рис. 1)

Для решения задачи нам нужно использовать некоторые свойства треугольника и понятия о площадях.

Пусть площадь треугольника \( ABC \) равна \( S_{ABC} = 63 \). Мы знаем, что точка \( H \) делит сторону \( AC \) на отрезки \( AH \) и \( HC \), где \( AH = 9 \) и \( HC = 12 \).

Первым делом, найдем общее длину отрезка \( AC \): \[ AC = AH + HC = 9 + 12 = 21. \]

Далее, найдем отношение отрезков \( AH \) и \( HC \): \[ \frac{AH}{AC} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}. \] А значит, эта же пропорция будет действовать для площадей треугольников \( ABH \) и \( ABC \). Это означает, что площадь треугольника \( ABH \) составит: \[ S_{ABH} = S_{ABC} \cdot \frac{AH}{AC} = 63 \cdot \frac{3}{7}. \]

Теперь расчет: \[ S_{ABH} = 63 \cdot \frac{3}{7} = 63 \cdot 0.4286 = 27. \]

Таким образом, площадь треугольника \( ABH \) равна \( 27 \).

Ответ: площадь треугольника \( ABH \) равна 27.