Составить уравнение касательной к нормали к кривой y=x^2-3 при x=2
Давайте разберёмся, как составить уравнение касательной и нормали к кривой \( y = x^2 - 3 \) в точке, соответствующей \( x = 2 \).
Найдем координаты точки на кривой. Подставим \( x = 2 \) в уравнение:
\[ y = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]
Таким образом, точка на кривой — это \( (2, 1) \).
Вычислим производную функции. Производная функции \( y = x^2 - 3 \) будет равна:
\[ y' = 2x \]
Теперь подставим \( x = 2 \):
\[ y'|_{x=2} = 2 \cdot 2 = 4 \]
Значит, угловой коэффициент касательной в точке \( (2, 1) \) равен 4.
Составим уравнение касательной. Уравнение касательной можно записать в виде:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
где \( (x_1, y_1) \) — это точка касания, а \( m \) — угловой коэффициент. Подставим наши значения:
\[ y - 1 = 4(x - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 1 = 4x - 8 \]
Переносим 1 на правую сторону:
\[ y = 4x - 7 \]
Это уравнение касательной.
Теперь найдём уравнение нормали. Нормаль — это прямая, которая перпендикулярна касательной. Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному значению углового коэффициента касательной:
\[ m_{\text{нормали}} = -\frac{1}{4} \]
Составим уравнение нормали по такой же формуле:
\[ y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ y - 1 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \]
Упрощаем:
\[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \]
Теперь у нас есть уравнения касательной и нормали к кривой в точке \( (2, 1) \):
- Уравнение касательной: \( y = 4x - 7 \)
- Уравнение нормали: \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \)
Если у вас возникнут дополнительные вопросы, с радостью помогу!
