Сколько существует в четырёхбуквенном алфавите {А, В, С, D} различных кодовых слов длиной не более 5 символов и содержащих ровно одну букву А? написать дано

Дано:

Алфавит состоит из четырёх букв: {А, В, С, D}. Необходимо найти количество различных кодовых слов длиной не более 5 символов, которые содержат ровно одну букву А.

Для решения задачи рассмотрим все возможные длины кодовых слов от 1 до 5 символов.

1. Кодовые слова длины 1:

   • Слово: "А" (в данном случае, нет других вариантов, так как требуется ровно одна буква А).
   • Количество: 1

2. Кодовые слова длины 2:

   • Первая буква: "А", вторая буква: может быть В, С или D (3 варианта).
   • Вторая буква: "А", первая буква: не может быть "А", может быть В, С или D (3 варианта).
   • Количество: \( 3 + 3 = 6 \)

3. Кодовые слова длины 3:

   • "А" может занимать одно из трёх положений (1, 2 или 3).
   • В остальных двух позициях могут быть любые из {В, С, D}, что даёт \( 3^2 = 9 \) вариантов для каждой позиции, поскольку для каждой из оставшихся позиций есть 3 выбора.
   • Количество: \( 3 \times 9 = 27 \)

4. Кодовые слова длины 4:

   • "А" может занимать одно из четырёх положений (1, 2, 3 или 4).
   • В оставшихся трех позициях также выбираем буквы из {В, С, D}, что даёт \( 3^3 = 27 \) вариантов.
   • Количество: \( 4 \times 27 = 108 \)

5. Кодовые слова длины 5:

   • "А" может занимать одно из пяти положений (1, 2, 3, 4 или 5).
   • В оставшихся четырёх позициях буквы выбираются из {В, С, D}, что даёт \( 3^4 = 81 \) вариантов.
   • Количество: \( 5 \times 81 = 405 \)

Теперь сложим количество кодовых слов для всех возможных длин:

• Длина 1: 1
• Длина 2: 6
• Длина 3: 27
• Длина 4: 108
• Длина 5: 405

Общее количество кодовых слов: \( 1 + 6 + 27 + 108 + 405 = 547 \)

Ответ: В алфавите {А, В, С, D} существует 547 различных кодовых слов длиной не более 5 символов, содержащих ровно одну букву А.