На курсах иностранных языков учится 600 человек. Из них французский изучают 220 человек, английский - 270 человек. Слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкий язык; один французский язык изучают 100 человек, один немецкий язык изучают 180 человек. Сколько человек изучает по два иностранных языка? Сколько человек изучает один иностранный язык?

Давайте обозначим:

• \( F \) — количество людей, изучающих французский язык (220 человек),
• \( A \) — количество людей, изучающих английский язык (270 человек),
• \( D \) — количество людей, изучающих немецкий язык (180 человек),
• \( A \cap F \) — количество людей, изучающих и английский, и французский язык,
• \( A \cap D \) — количество людей, изучающих и английский, и немецкий язык (по условию, 0 человек, так как слушатели английского не изучают немецкий),
• \( F \cap D \) — количество людей, изучающих и французский, и немецкий язык,
• \( F \cap A \cap D \) — количество людей, изучающих все три языка (по условию, также 0 человек, так как изучающие английский язык не изучают немецкий).

По условию задачи:

• Изучают только французский: \( F - (A \cap F + F \cap D) = F - A \cap F - F \cap D \),
• Изучают только английский: \( A - (A \cap F + A \cap D) = A - A \cap F - A \cap D \),
• Изучают только немецкий: \( D - (F \cap D + A \cap D) = D - F \cap D - A \cap D \),
• Изучают два языка: \( (A \cap F) + (F \cap D) + (A \cap D) \).

Мы знаем, что:

• Количество людей, изучающих только один язык, равно: \( N(только F) + N(только A) + N(только D) \),
• Общее количество студентов - 600.

Заполним функцию:

1. По условию: 100 человек изучают только французский.
2. Количество изучающих только английский: \( A = 270 \). Из них \( A \cap F = 0 \), следовательно, \( только A = 270 \),
3. Количество изучающих только немецкий: \( D = 180 \). Из них \( D \cap F = 0 \), следовательно, \( только D = 180 \).

Также из общего количества студентов:

• Изучают два языка: \( N(только F) + N(только A) + N(только D) + N(A \cap F) + N(D \cap F) + N(A \cap D) = 600 \).

Сложив все известные:

• \( 100 + 270 + 180 + N(A \cap F) + N(F \cap D) + N(A \cap D) = 600 \),
• \( 550 + (A \cap F) + (F \cap D) + (A \cap D) = 600 \),
• \( (A \cap F) + (F \cap D) + (A \cap D) = 50 \).

Так как:

• \( A \cap D = 0 \),
• \( N(только F \cap A) + N(D \cap F) = 50 \).

Сколько человек изучает два языка: 50 человек.

Количество людей, изучающих только один иностранный язык:

• Только французский: 100,
• Только английский: 270 - (A \cap F) = 270 - (50) = 220,
• Только немецкий: 180 - (F \cap D) = 180 - (50) = 130.

Итак, все суммы: 100 + 220 + 130 = 450

Итак:

• Количество изучающих два языка: 50 человек.
• Количество изучающих один язык: 450 человек.