Серёжа вращает в вертикальной плоскости камень, привязанный к шнуру длиной 0,5 м. Частота обращения равна 3 Гц. На какую высоту взлетит камень, если верёвка обрывается, когда скорость направлена вертикально вверх? Запиши в поле ответа верное число, округлив до десятых.
Чтобы решить эту задачу, начнем с определения скорости, с которой камень вращается в круге. Для этого используем формулу для вычисления линейной скорости \(v\):
\[ v = 2 \pi r f \]
где \(r\) — длина шнура (радиус окружности), а \(f\) — частота вращения.
В нашей задаче:
- \(r = 0,5 \, \text{м}\)
- \(f = 3 \, \text{Гц}\)
Подставим значения в формулу:
\[ v = 2 \pi (0,5) (3) = 3 \pi \, \text{м/с} \approx 9,42 \, \text{м/с} \]
Теперь определим, какую высоту \(h\) камень сможет достичь, когда веревка обрывается, и скорость направлена вертикально вверх. Используем закон сохранения энергии. В момент, когда камень покинет веревку, его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную.
Потенциальная энергия на высоте \(h\) равна:
\[ mgh \]
Кинетическая энергия в момент обрыва равна:
\[ \frac{1}{2} mv^2 \]
Приравняем эти две энергии:
\[ \frac{1}{2} mv^2 = mgh \]
Массу \(m\) можем сократить, так как она присутствует в обеих частях уравнения:
\[ \frac{1}{2} v^2 = gh \]
Отсюда выразим высоту \(h\):
\[ h = \frac{v^2}{2g} \]
Принимая ускорение свободного падения \(g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2\), подставим значение скорости:
\[ h = \frac{(9,42)^2}{2 \times 9,81} \approx \frac{88,7364}{19,62} \approx 4,52 \, \text{м} \]
Таким образом, высота, на которую взлетит камень, составляет примерно:
\[ \boxed{4,5} \]
