Начав движение из состояния покоя с ускорением 6 м/с2, тело достигло скорости 36м/с и, продолжая движение, остановилось через 5с. Какой путь прошло тело за все время движения?
Для решения задачи давайте разобьем ее на два этапа: движение с ускорением и движение с замедлением.
- Первый этап: движение с ускорением.
Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением \(a = 6 \, \text{м/с}^2\) и достигает скорости \(v = 36 \, \text{м/с}\). Используем формулу для нахождения пути:
\[ v = a \cdot t \]
Отсюда найдем время \(t_1\), за которое тело достигло этой скорости:
\[ t_1 = \frac{v}{a} = \frac{36 \, \text{м/с}}{6 \, \text{м/с}^2} = 6 \, \text{с} \]
Теперь найдем путь \(s_1\), который тело прошло за это время, используя формулу:
\[ s_1 = \frac{a \cdot t_1^2}{2} \]
Подставим известные значения:
\[ s_1 = \frac{6 \, \text{м/с}^2 \cdot (6 \, \text{с})^2}{2} = \frac{6 \cdot 36}{2} = 108 \, \text{м} \]
Таким образом, на первом этапе тело прошло \(108 \, \text{м}\).
- Второй этап: движение с замедлением.
Теперь тело продолжает движение и останавливается через \(5 \, \text{с}\) с начальными условиями: начальная скорость \(v_0 = 36 \, \text{м/с}\) и конечная скорость \(v = 0\). Используем формулу для нахождения пути при равноускоренном движении:
\[ s_2 = v_0 \cdot t + \frac{a' \cdot t^2}{2} \]
Сначала найдем ускорение (замедление) \(a'\). Так как конечная скорость \(v = 0\), у нас есть:
\[ v = v_0 + a' \cdot t \]
Отсюда выражаем \(a'\):
\[ 0 = 36 \, \text{м/с} + a' \cdot 5 \, \text{с} \]
\[ a' = -\frac{36 \, \text{м/с}}{5 \, \text{с}} = -7.2 \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставим все необходимые значения для нахождения пути \(s_2\):
\[ s_2 = 36 \, \text{м/с} \cdot 5 \, \text{с} + \frac{-7.2 \, \text{м/с}^2 \cdot (5 \, \text{с})^2}{2} \]
\[ s_2 = 180 \, \text{м} - \frac{7.2 \cdot 25}{2} = 180 \, \text{м} - 90 \, \text{м} = 90 \, \text{м} \]
- Общий путь.
Теперь сложим пути, пройденные на обоих этапах:
\[ s_{total} = s_1 + s_2 = 108 \, \text{м} + 90 \, \text{м} = 198 \, \text{м} \]
Таким образом, тело прошло за всё время движения \(198 \, \text{м}\).
