дано cos‰=-8/17 найти sin‰,tg‰,ctg‰
Для решения данной задачи, когда известно значение косинуса угла \( \cos \phi = -\frac{8}{17} \), можно воспользоваться тригонометрическими свойствами и формулами, связанными с основными тригонометрическими функциями.
- Найдем синус. Используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 \] Подставим значение косинуса: \[ \sin^2 \phi + \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \phi + \frac{64}{289} = 1 \] \[ \sin^2 \phi = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \] Теперь извлекаем корень из обеих сторон: \[ \sin \phi = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17} \]
Так как \( \cos \phi < 0 \), это означает, что угол \(\phi\) находится во втором или третьем квадранте. В этом случае синус будет положительным. Следовательно: \[ \sin \phi = \frac{15}{17} \]
Найдем тангенс. Формула для тангенса: \[ \tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} \] Подставляем найденные значения: \[ \tan \phi = \frac{\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} = -\frac{15}{8} \]
Найдем котангенс. Формула для котангенса: \[ \cot \phi = \frac{1}{\tan \phi} = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} \] Подставляем найденные значения: \[ \cot \phi = \frac{-\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15} \]
Итак, окончательные ответы: \[ \sin \phi = \frac{15}{17}, \quad \tan \phi = -\frac{15}{8}, \quad \cot \phi = -\frac{8}{15} \]
