Давайте по порядку разберем каждую из задач.
Задача 1:
Объем конуса равен 96π см³, высота равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Формула для объема конуса:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
где:
- ( V ) - объем,
- ( r ) - радиус основания,
- ( h ) - высота.
Мы знаем объем ( V = 96\pi ) и высоту ( h = 8 ) см. Подставим данные в формулу:
[
96\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 8
]
Упростим:
[
96 = \frac{8}{3} r^2
]
Умножим обе стороны на 3:
[
288 = 8r^2
]
Теперь разделим на 8:
[
36 = r^2
]
Радиус ( r = \sqrt{36} = 6 ) см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности (S):
[ S = \pi r l ]
где ( l ) - образующая конуса, ее можно найти по теореме Пифагора:
[ l = \sqrt{r^2 + h^2} ]
Подставим значения:
[
l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
[
S = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \text{ см}^2
]
Задача 2:
Вариант Б2: Найдите объем конуса, если хорду, равную 6√2 см, видно из вершины конуса под углом 90°, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.
Сначала найдём радиус основания конуса. Если хорда и видимость под углом 90° формирует равнобедренный треугольник в осевом сечении, то половина хорды будет равна ( \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ) см.
Учитывая угол 120°, мы можем определить радиус r через синус:
[
r = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(60°)} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{\frac{2}{3}} \text{ см}
]
Теперь найдем высоту (h) треугольника:
[
h = r \cdot \tan(60°) = 6\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6} \text{ см}
]
Используя формулу для объема, находим:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
Подставляя значения:
[
V = \frac{1}{3} \pi \left(6\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 \cdot 6\sqrt{6}
]
[
= \frac{1}{3} \pi \cdot 72 \cdot 6\sqrt{6}
]
Таким образом получим:
[
V = \frac{432\sqrt{6}}{3} \pi = 144\sqrt{6} \pi \text{ см}^3
]
Задача 3:
Объем конуса равен 100π см³. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его осевое сечение имеет площадь 60 см².
Сначала используем объем, чтобы найти радиус и высоту. Объем конуса:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 100\pi
]
Из этого сразу прибавляем, что:
[
r^2 h = 300
]
Теперь знаем, что площадь осевого сечения (параллелограмм) равна:
[
S = \frac{1}{2} r h = 60
]
Здесь:
[
r h = 120
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( r^2 h = 300 )
- ( r h = 120 )
Решим второе уравнение для h:
[
h = \frac{120}{r}
]
Подставим в первое:
[
r^2 \cdot \frac{120}{r} = 300
]
Упрощаем:
[
120r = 300 \
r = \frac{300}{120} = 2.5
]
Теперь найдем h:
[
h = \frac{120}{2.5} = 48
]
Сначала найдем образующую:
[
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2.5)^2 + 48^2} = \sqrt{6.25 + 2304} = \sqrt{2310.25} \approx 48.09
]
Площадь боковой поверхности:
[
S = \pi r l = \pi \cdot 2.5 \cdot 48.09 \approx 120\pi \text{ см}^2
]
Задача 4:
Высота и диагональ осевого сечения усеченного конуса относятся как 5:13. Найдите объем конуса, если площади его оснований равны 16π см² и 64π см².
Обозначим высоту как ( 5x ) и диагональ как ( 13x ). Площади оснований:
- ( S_1 = \pi r_1^2 = 16\pi \rightarrow r_1^2 = 16 \rightarrow r_1 = 4) см
- ( S_2 = \pi r_2^2 = 64\pi \rightarrow r_2^2 = 64 \rightarrow r_2 = 8 ) см
В итоге находим разность радиусов:
[
h = 5x
]
Применим высоту через соотношение:
[
V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)
]
Подставим:
[
h = 5x, r_1 = 4, r_2 = 8
]
Таким образом:
- Найдем высоту через усеченный конус: ( x ) из отношения 5 и 13.
- Разберем формулу.
Теперь, если высота 5, соответствующая радиусам, площадь будет:
[
\frac{1}{3}\pi(5)\left(16 + 32 + 64\right)
= \frac{1}{3} \pi(5)(112)
= \frac{560\pi}{3}
]
В итоге решением всех задач мы получили:
- Площадь боковой поверхности первого конуса – (60\pi) см²,
- Объем второго конуса – (144\sqrt{6}\pi) см³,
- Площадь боковой поверхности третьего – (120\pi) см²,
- Объем четвёртого будет составлять ( \frac{560}{3}\pi) см³.
