В магазине продаются синие ручки по 14 рублей, красные по 15, зеленые по 16. Вася купил несколько ручек всех трёх цветов потратив на них ровно 170 рублей. какое наименьшее количество красных ручек он мог купить

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначений. Пусть:

• \( x \) — количество синих ручек,
• \( y \) — количество красных ручек,
• \( z \) — количество зеленых ручек.

Согласно условию задачи, мы имеем следующее уравнение:

\[ 14x + 15y + 16z = 170. \]

Наша цель — минимизировать количество красных ручек, то есть \( y \).

1. Попробуем выразить количество синих и зеленых ручек через количество красных, чтобы найти минимально возможное значение \( y \). Для этого преобразуем уравнение:

\[ 14x + 16z = 170 - 15y. \]

2. Поскольку количество ручек \( x, y, z \) должно быть неотрицательными целыми числами, определим, что \( 170 - 15y \) должно быть делимо на 2, так как сумма \( 14x + 16z \) всегда четная (14 и 16 — четные числа). Следовательно:

\[ 170 - 15y \equiv 0 \, (\text{mod } 2) \] \[ 0 - y \equiv 0 \, (\text{mod } 2), \] что означает, что \( y \) должно быть четным.

3. Рассмотрим возможные значения \( y \):

• \( y = 0 \), \( y = 2 \), \( y = 4 \), \( y = 6 \), \( y = 8 \), \( y = 10 \) и так далее.

Будем подставлять значения \( y \) и проверять на наличие целых решений для \( x \) и \( z \):

• Для \( y = 0 \): \[ 14x + 16z = 170. \] Нет целых решений, так как \( x \) и \( z \) должны быть целыми и неотрицательными.

• Для \( y = 2 \): \[ 14x + 16z = 140. \] Это уравнение также не дает целых решений, так как \( z \) должно быть четным.

• Для \( y = 4 \): \[ 14x + 16z = 110. \] Нет решений.

• Для \( y = 6 \): \[ 14x + 16z = 85. \] Опять нет решений.

• Для \( y = 8 \): \[ 14x + 16z = 55. \] Решение возможно. Если взять \( z = 0 \): \[ 14x = 55 \Rightarrow x = \frac{55}{14}, \] что не является целым.

• Для \( y = 10 \): \[ 14x + 16z = 25. \] Можно взять \( z = 1 \): \[ 14x + 16 = 25 \Rightarrow 14x = 9, \] что также не целое.

• Для \( y = 12 \): \[ 14x + 16z = -5. \] Это невозможно.

Таким образом, минимальное значение \( y \), которое обеспечивает целые решения, будет найдено при \( y = 8 \). При этом, к примеру:

Если \( y = 8 \): \[ 14x + 16z = 55. \] Здесь возможно \( z = 3 \) и \( x = 1 \).

Таким образом, наименьшее количество красных ручек, которое Вася мог купить, равно:

\[ \boxed{8}. \]