Найдите точку максимума функции In(x-2)-5x+10
Чтобы найти точку максимума функции \( f(x) = \ln(x - 2) - 5x + 10 \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Производная покажет нам, где функция достигает максимумов и минимумов.
\( f'(x) = \frac{1}{x - 2} - 5 \)
Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ \frac{1}{x - 2} - 5 = 0 \]
Переместим \( -5 \) на другую сторону:
\[ \frac{1}{x - 2} = 5 \]
Умножим обе стороны на \( (x - 2) \) (при условии, что \( x \neq 2 \)):
\[ 1 = 5(x - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 1 = 5x - 10 \]
Переносим 10 на другую сторону:
\[ 5x = 11 \]
Делим на 5:
\[ x = \frac{11}{5} \]
Проверим, является ли эта критическая точка максимумом или минимумом, с помощью второй производной:
Найдем вторую производную:
\[ f''(x) = -\frac{1}{(x - 2)^2} \]
Обратите внимание, что вторая производная всегда отрицательна для \( x > 2 \). Это означает, что функция имеет максимум при \( x = \frac{11}{5} \).
Найдем соответствующее значение функции:
Подставим \( x = \frac{11}{5} \) в исходную функцию:
\[ f\left(\frac{11}{5}\right) = \ln\left(\frac{11}{5} - 2\right) - 5\left(\frac{11}{5}\right) + 10 \]
Упрощаем:
\[ f\left(\frac{11}{5}\right) = \ln\left(\frac{11}{5} - \frac{10}{5}\right) - \frac{55}{5} + 10 = \ln\left(\frac{1}{5}\right) - 11 + 10 \]
\[ f\left(\frac{11}{5}\right) = \ln\left(\frac{1}{5}\right) - 1 \]
Таким образом, точка максимума функции \( \ln(x - 2) - 5x + 10 \) находится в \( x = \frac{11}{5} \).
