Найдите точку максимума функции In(x-2)-5x+10

Чтобы найти точку максимума функции \( f(x) = \ln(x-2) - 5x + 10 \), следуем следующим шагам:

1. Найдем первую производную функции: Для этого используем правила дифференцирования. \[ f'(x) = \frac{1}{x-2} - 5 \]

2. Приравняем первую производную к нулю для нахождения критических точек: \[ \frac{1}{x-2} - 5 = 0 \]

   Перегруппируем уравнение: \[ \frac{1}{x-2} = 5 \]

   Теперь умножим обе стороны на \( x-2 \) (при этом предполагаем, что \( x \neq 2 \)): \[ 1 = 5(x-2) \] \[ 1 = 5x - 10 \] \[ 5x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{11}{5} = 2.2 \]

3. Найдем вторую производную для определения характера критической точки: \[ f''(x) = -\frac{1}{(x-2)^2} \]

   Заметим, что вторая производная всегда отрицательна при \( x > 2 \). Это значит, что функция имеет максимум в точке \( x = 2.2 \).

4. Находим значение функции в этой точке: \[ f(2.2) = \ln(2.2 - 2) - 5 \cdot 2.2 + 10 \] \[ = \ln(0.2) - 11 + 10 \] \[ = \ln(0.2) - 1 \]

Таким образом, точка максимума функции \( f(x) = \ln(x-2) - 5x + 10 \) находится в координатах \( \left( \frac{11}{5}, f\left(\frac{11}{5}\right) \right) \).