Решить не равенство: 1/3x²-3x меньше или равно нулю

Чтобы решить неравенство \( \frac{1}{3}x^2 - 3x \leq 0 \), начнем с преобразования его в более удобный вид.

1. Умножим обе стороны неравенства на 3 (так как 3 положительное число, это не изменит знак неравенства):

\[ x^2 - 9x \leq 0 \]

2. Далее можно вынести общий множитель за скобки:

\[ x(x - 9) \leq 0 \]

Теперь мы можем определить, когда произведение \( x(x - 9) \) меньше или равно нулю.

3. Найдём нули этого выражения, приравняв каждую часть к нулю:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 \]

Таким образом, нулевые точки — это \( x = 0 \) и \( x = 9 \).

4. Разделим числовую ось на интервалы по найденным корням:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 9) \)
   • \( (9, +\infty) \)

5. Теперь проверим знак функции \( x(x - 9) \) в каждом интервале:

• Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ (-1)(-1 - 9) = (-1)(-10) = 10 > 0 \]

• Для \( 0 < x < 9 \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5(5 - 9) = 5(-4) = -20 < 0 \]

• Для \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \[ 10(10 - 9) = 10(1) = 10 > 0 \]

6. Теперь можно записать, где функция меньше или равна нулю. Мы знаем, что она отрицательна на интервале \( (0, 9) \) и равна нулю в точках \( x = 0 \) и \( x = 9 \).

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in [0, 9] \]

Это означает, что \( x \) может принимать значения от 0 до 9 включительно.