На рынке две группы потребителей товара N, которые различаются уровнем доходов. Функция спроса первой группы покупателей Qd=200-10P, функция спроса второй группы Qd=300-10P. Товар N производит единственная фирма монополист. Постоянные издержки на производство товара равны 600 тыс.руб. Переменные издержки на единицу продукции при любом объёме производства равны 8 тыс.руб. Какой будет прибыль фирмы, если она примет решение применять ценовую дискриминацию?

Чтобы определить прибыль монополиста при ценовой дискриминации, необходимо сначала рассчитать общий спрос на товар, затем найти оптимальные цены для каждой группы потребителей и, наконец, узнать общие издержки и прибыль.

1. Определение общего спроса:

   • Для первой группы: \( Q_{d1} = 200 - 10P \)
   • Для второй группы: \( Q_{d2} = 300 - 10P \)

2. Нахождение предельных доходов: В условиях ценовой дискриминации монополист может устанавливать разные цены для каждой группы. Начнем с нахождения предельного дохода для каждой группы.

   Для первой группы:

   • \( Q = 200 - 10P \) ⇒ \( P = 20 - 0.1Q \)
   • Общий доход \( TR_1 = P \times Q = (20 - 0.1Q)Q = 20Q - 0.1Q^2 \)
   • Предельный доход \( MR_1 = \frac{d(TR_1)}{dQ} = 20 - 0.2Q \)

   Для второй группы:

   • \( Q = 300 - 10P \) ⇒ \( P = 30 - 0.1Q \)
   • Общий доход \( TR_2 = P \times Q = (30 - 0.1Q)Q = 30Q - 0.1Q^2 \)
   • Предельный доход \( MR_2 = \frac{d(TR_2)}{dQ} = 30 - 0.2Q \)

3. Определение предельных издержек: Постоянные издержки — 600 тыс. руб., переменные издержки на единицу продукции — 8 тыс. руб. Таким образом, общие переменные издержки для производимого количества \( Q \): \[ VC = 8Q \] Предельные издержки: \[ MC = 8 \]

4. Оптимизация прибыли: Теперь приравняем предельные доходы к предельным издержкам, чтобы найти оптимальное количество для каждой группы:

   Для первой группы: \[ 20 - 0.2Q_1 = 8 \] \[ 0.2Q_1 = 12 \rightarrow Q_1 = 60 \]

   Для второй группы: \[ 30 - 0.2Q_2 = 8 \] \[ 0.2Q_2 = 22 \rightarrow Q_2 = 110 \]

5. Определение цен: Теперь подставим найденные количества обратно в функции спроса, чтобы найти цены:

   Для первой группы: \[ P_1 = 20 - 0.1 \cdot 60 = 14 \]

   Для второй группы: \[ P_2 = 30 - 0.1 \cdot 110 = 19 \]

6. Расчет прибыли: Теперь рассчитаем выручку и общие издержки.

   Выручка: \[ TR_1 = P_1 \cdot Q_1 = 14 \cdot 60 = 840 \text{ тыс. руб.} \] \[ TR_2 = P_2 \cdot Q_2 = 19 \cdot 110 = 2090 \text{ тыс. руб.} \] Общая выручка: \[ TR = TR_1 + TR_2 = 840 + 2090 = 2930 \text{ тыс. руб.} \]

   Общие издержки: \[ TC = FC + VC = 600 + 8(Q_1 + Q_2) = 600 + 8(60 + 110) = 600 + 1360 = 1960 \text{ тыс. руб.} \]

   Прибыль: \[ \pi = TR - TC = 2930 - 1960 = 970 \text{ тыс. руб.} \]

Таким образом, прибыль фирмы при условии ценовой дискриминации составит 970 тыс. рублей.