Владелец концертного зала стремится получить максимальную выручку от продажи билетов на концерт популярной группы. Функция предложения билетов на концерт QS=-20+0,5P. Функция линейного спроса на билеты пересекается с функцией предложения при Р=80 ден.ед. и Q=20. Известно, что если владелец концертного зала установит цену на билет 100 ден.ед., то такой дорогой билет никто не купит. Какую цену за билет установит владелец концертного зала, чтобы добиться поставленной цели?

Чтобы определить оптимальную цену билета, которую должен установить владелец концертного зала для максимизации выручки, необходимо проанализировать информацию о функции спроса и предложении.

Дано:

1. Функция предложения билетов: \( Q_S = -20 + 0.5P \)
2. При пересечении функции спроса и предложения: \( P = 80 \) ден. ед. и \( Q = 20 \).
3. Если установить цену \( P = 100 \) ден. ед., то никто не купит билет.

Сначала нужно найти функцию спроса. На основе пересечения с предложением, можно предположить, что функция спроса имеет вид:

\[ Q_D = a - bP \]

где \( a \) и \( b \) — неизвестные коэффициенты. Мы знаем, что при \( P = 80 \), \( Q = 20 \):

1. Подставим в функцию предложения, чтобы найти значение \( Q_S \) при \( P = 80 \): \[ Q_S = -20 + 0.5 \times 80 = -20 + 40 = 20 \]

Значит, \( Q_D \) также равен 20.

2. Теперь подставим значение в функцию спроса: \[ 20 = a - 80b \]

Мы также знаем, что при \( P = 100 \), \( Q_D = 0 \). Подставим это значение в функцию спроса: \[ 0 = a - 100b \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 20 = a - 80b \) (1)
2. \( 0 = a - 100b \) (2)

Из уравнения (2) выразим \( a \): \[ a = 100b \]

Теперь подставим \( a \) в (1): \[ 20 = 100b - 80b \] \[ 20 = 20b \] \[ b = 1 \]

Теперь, подставив значение \( b \) обратно в (2), найдем \( a \): \[ a = 100 \times 1 = 100 \]

Таким образом, функция спроса имеет вид: \[ Q_D = 100 - P \]

Теперь можем найти точку максимальной выручки:

Выручка \( R \) от продажи билетов определяется как произведение цены и количества проданных билетов: \[ R = P \times Q_D = P \times (100 - P) = 100P - P^2 \]

Чтобы максимизировать выручку, найдем производную по \( P \): \[ R' = 100 - 2P \]

Приравняем к нулю для нахождения максимума: \[ 100 - 2P = 0 \] \[ 2P = 100 \] \[ P = 50 \]

Теперь, подставив \( P = 50 \) в функцию спроса, найдем количество продаваемых билетов: \[ Q_D = 100 - 50 = 50 \]

Таким образом, владелец концертного зала должен установить цену на билет в 50 ден. ед., чтобы максимально увеличить выручку.