Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему проходить во всякий день по 40 верст. На следующей день вслед ему был послан другой человек, и велено ему проходить по 45 верст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим:

• \( S_1 \) — расстояние, пройденное первым человеком к определённому дню.
• \( S_2 \) — расстояние, пройденное вторым человеком к тому же дню.

Первый человек проходит по 40 верст в день, а второй — по 45 верст в день. Так как второй человек выехал на следующий день, у него будет несколько меньший стаж в пути, чем у первого.

Пусть \( x \) – количество дней, через которое второй человек догонит первого. Таким образом:

1. Первый человек за \( x + 1 \) день пройдет:
   \[ S_1 = 40 \cdot (x + 1) \]

2. Второй человек за \( x \) день пройдет:
   \[ S_2 = 45 \cdot x \]

Теперь, мы приравняем оба расстояния, так как они встретятся в одной точке:

\[ 40 \cdot (x + 1) = 45 \cdot x \]

Решим это уравнение:

\[ 40x + 40 = 45x \]

Теперь перенесем все \( x \) на одну сторону:

\[ 40 = 45x - 40x \] \[ 40 = 5x \] \[ x = \frac{40}{5} = 8 \]

Таким образом, второй человек догонит первого через 8 дней.