В треугольнике АВС угол А равен 46°, угол C равен 74°, АС = 3√3. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности
Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, можно воспользоваться формулой:
\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]
где \( R \) — радиус описанной окружности, \( a \) — сторона, противоположная углу \( A \), а \( A \) — угол, противолежащий этой стороне.
Сначала найдем угол \( B \) треугольника \( ABC \):
\[ B = 180° - A - C = 180° - 46° - 74° = 60° \]
Теперь знаем, что:
- Угол \( A = 46° \)
- Угол \( B = 60° \)
- Угол \( C = 74° \)
- Сторона \( AC = 3\sqrt{3} \)
Чтобы найти сторону \( AB \), используем теорему синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
Где \( a = BC \), \( b = AC = 3\sqrt{3} \), и \( c = AB \).
Согласно теореме синусов:
\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] \[ \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{BC}{\sin 46°} \]
Знаем, что \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и можем решить это уравнение. Упростим:
\[ \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sin 46°} \] \[ 3 * 2 = \frac{BC}{\sin 46°} \] \[ 6 = \frac{BC}{\sin 46°} \implies BC = 6 \cdot \sin 46° \]
Теперь вычислим значение \( \sin 46° \) (приблизительно 0.719):
\[ BC \approx 6 \cdot 0.719 \approx 4.314 \]
Теперь подставим полученное значение \( BC \) в формулу для радиуса:
\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] \[ R = \frac{4.314}{2 \cdot \sin 46°} \] \[ R = \frac{4.314}{2 \cdot 0.719} \] \[ R \approx \frac{4.314}{1.438} \approx 3.0 \]
Таким образом, радиус описанной окружности треугольника \( ABC \) приблизительно равен \( 3.0 \) единиц. Выводим итог:
Радиус описанной окружности треугольника ABC равен 3.0.
