X+6/\x+5 + 10/\x²-25 = 5/\4

Конечно! Давайте разберем уравнение:

\[ \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{10}{x^2 - 25} = \frac{5}{4} \]

1. Приведем все к общему знаменателю. У нас есть два выражения, где необходимо учесть знаменатели. Знаменатель второго дробного выражения \(x^2 - 25\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \] Таким образом, общий знаменатель для всех дробей будет \(4(x + 5)(x - 5)\).

2. Приведем дроби к общему знаменателю:

   • Для первой дроби: \[ \frac{x + 6}{x + 5} \cdot \frac{4(x - 5)}{4(x - 5)} = \frac{4(x + 6)(x - 5)}{4(x + 5)(x - 5)} \]
   • Для второй дроби: \[ \frac{10}{x^2 - 25} \cdot \frac{4}{4} = \frac{40}{4(x - 5)(x + 5)} \]
   • Правая часть уравнения: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{(x + 5)(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{5(x - 5)(x + 5)}{4(x - 5)(x + 5)} \]

3. Теперь у нас есть: \[ \frac{4(x + 6)(x - 5) + 40}{4(x + 5)(x - 5)} = \frac{5(x^2 - 25)}{4(x + 5)(x - 5)} \]

4. Теперь, приравняем числители: \[ 4(x + 6)(x - 5) + 40 = 5(x^2 - 25) \]

5. Раскроем скобки и упростим:

   • Левая часть: \[ 4(x^2 - 5x + 6x - 30) + 40 = 4(x^2 + x - 30) + 40 = 4x^2 + 4x - 120 + 40 = 4x^2 + 4x - 80 \]
   • Правая часть: \[ 5x^2 - 125 \]

6. Теперь уравнение выглядит так: \[ 4x^2 + 4x - 80 = 5x^2 - 125 \]

7. Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 5x^2 - 4x^2 - 4x - 125 + 80 \] \[ 0 = x^2 - 4x - 45 \]

8. Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 45 = 0 \]

Используем формулу для нахождения корней \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

• Здесь \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -45\)

9. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]

10. Теперь находим корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{4 \pm 14}{2} \] Это дает два решения: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]

Давайте проверим, что мы не делим на ноль. Подставляя x = -5 в выражение \(\frac{x + 6}{x + 5}\), получаем деление на ноль, следовательно, решение \(x = -5\) не подходит.

Остается только: \[ x = 9 \]

Таким образом, ответ: \[ x = 9 \]