S(4х³-1/х²)(2х-1/х²)dx
Для решения данного интеграла \( S(4x^3 - \frac{1}{x^2})(2x - \frac{1}{x^2})dx \), начнем с упрощения выражения внутри скобок.
Умножим два множителя: \[ (4x^3 - \frac{1}{x^2})(2x - \frac{1}{x^2}) = 4x^3 \cdot 2x - 4x^3 \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot 2x + \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \] \[ = 8x^4 - 4x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^4} \]
Теперь мы можем записать интеграл как: \[ S(8x^4 - 4x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^4})dx \]
Теперь проинтегрируем каждое отдельное слагаемое:
- Интеграл \( S(8x^4)dx = \frac{8}{5}x^5 + C_1 \)
- Интеграл \( S(-4x)dx = -2x^2 + C_2 \)
- Интеграл \( S(\frac{2}{x})dx = 2\ln|x| + C_3 \)
- Интеграл \( S(\frac{1}{x^4})dx = -\frac{1}{3x^3} + C_4 \)
Сложим все это вместе: \[ S(4x^3 - \frac{1}{x^2})(2x - \frac{1}{x^2})dx = \frac{8}{5}x^5 - 2x^2 + 2\ln|x| - \frac{1}{3x^3} + C \]
Где \( C \) - произвольная constante интегрирования.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений по какому-то из этапов, не стесняйтесь спрашивать!
