корень 2x-6=3-x
Для того чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x - 6} = 3 - x \), начнем с того, что нужно избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{2x - 6})^2 = (3 - x)^2 \]
Это упрощается до:
\[ 2x - 6 = (3 - x)(3 - x) \]
Теперь разложим правую часть:
\[ 2x - 6 = 9 - 6x + x^2 \]
Приведем все термины к одной стороне, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -8\), и \(c = 15\). Подставим значения:
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} \]
\[ x = \frac{8 \pm 2}{2} \]
Таким образом, мы получаем два решения:
- \(x = \frac{10}{2} = 5\)
- \(x = \frac{6}{2} = 3\)
Теперь необходимо проверить, подходят ли эти значения к исходному уравнению.
Для \(x = 5\): \[ \sqrt{2(5) - 6} = \sqrt{10 - 6} = \sqrt{4} = 2 \] \[ 3 - 5 = -2 \quad (\text{не подходит}) \]
Для \(x = 3\): \[ \sqrt{2(3) - 6} = \sqrt{6 - 6} = \sqrt{0} = 0 \] \[ 3 - 3 = 0 \quad (\text{подходит}) \]
Итак, единственным решением уравнения является:
\[ \boxed{3} \]
