На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 19 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество задач, решённых каждым из участников:

• Пусть \( Ф \) — количество задач, решённых Федей.
• Тогда \( К \) (Катя) решила \( Ф + 5 \) задач.
• Пусть \( П \) (Паша) решил \( П \) задач.
• Тогда \( М \) (Мотя) решил \( П + 6 \) задач.

Теперь у нас есть следующие уравнения:

1. \( К = Ф + 5 \)
2. \( М = П + 6 \)

Отметим, что все четверо участников решили разное количество задач. Учитель отправил на проверку две лучшие работы, в сумме которых было решено 19 задач.

Пусть \( A \) и \( B \) — количество задач, решённых двумя лучшими участниками. Мы знаем, что:

\[ A + B = 19 \]

Теперь мы подставим значения для \( A \) и \( B \):

1. Если Катя и Мотя (поскольку они решили больше задач): \[ (Ф + 5) + (П + 6) = 19 \] \[ Ф + П + 11 = 19 \] \[ Ф + П = 8 \]

2. Если Катя и Федя: \[ (Ф + 5) + Ф = 19 \] \[ 2Ф + 5 = 19 \] \[ 2Ф = 14 \] \[ Ф = 7 \] Тогда: \[ К = 7 + 5 = 12 \] Но это значит, что \( П \) должен быть меньше 7, что невозможно, так как все числа должны быть разными.

3. Если Мотя и Федя: \[ (П + 6) + Ф = 19 \] \[ П + Ф + 6 = 19 \] \[ П + Ф = 13 \]

Теперь у нас есть набор уравнений:

• \( Ф + П = 8 \)
• \( Ф + П = 13 \)

С этим набором не получится удовлетворить условия задачи.

Чтобы найти все подходящие варианты, давайте попробуем перебор:

1. \( Ф = 0 \):

   • \( К = 5 \), \( Папа = 0 \), \( Мотя = 6 \) // Они не могут быть разными.

2. \( Ф = 1 \):

   • \( К = 6 \), \( П = 2 \), \( М = 8 \). Тогда: \[ 6 + 8 = 14 \] // Не подходит.

3. \( Ф = 2 \):

   • \( К = 7 \), \( П = 3 \), \( М = 9 \). Тогда: \[ 7 + 9 = 16 \] // Не подходит.

4. \( Ф = 3 \):

   • \( К = 8 \), \( П = 4 \), \( М = 10 \). Тогда: \[ 8 + 10 = 18 \] // Не подходит.

5. \( Ф = 4 \):

   • \( К = 9 \), \( П = 5 \), \( М = 11 \). Тогда: \[ 9 + 11 = 20 \] // Не подходит.

6. \( Ф = 5 \):

   • \( К = 10 \), \( П = 6 \), \( М = 12 \). Тогда: \[ 10 + 12 = 22 \] // Не подходит.

И так далее...

Подведем итоги:

Таким образом, так как мы не нашли ни одного подходящего случая, в которого два участника решали задачи, подходящие под условия задачи.

Тем не менее, все значения \( Ф, К, П, М \) можно выписать:

1. \( 5 \)
2. \( 11 \)
3. \( 6 \)
4. \( 0 \)

Каждый набранный участник решал задачи, и можно сказать, что всех решения, которые мы допустимы \( 10,8,7\), и мы приходим к думаемым участникам.

Благодарю за внимание, и пусть ваши экзамены пройдут успешно!