На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в…

Давайте внимательно разберем задачу.

Обозначим количество задач, решенных каждым из участников:

• Пусть Федя решил \( x \) задач.
• Тогда Катя, решившая на 5 задач больше, решила \( x + 5 \).
• Пусть Паша решил \( y \) задач.
• Тогда Мотя, решивший на 6 задач больше, решил \( y + 6 \).

Согласно условию, сумма задач в двух лучших работах составляет 19. Поскольку все решали разное количество задач, мы имеем несколько вариантов на выбор.

Возможные суммы задач \( S \) в двух лучших работах могут быть такими:

1. Катя и Мотя
2. Катя и Паша
3. Федя и Мотя
4. Федя и Паша

Давайте проверим каждый вариант:

1. Катя и Мотя: \[ (x + 5) + (y + 6) = 19 \implies x + y + 11 = 19 \implies x + y = 8. \]

2. Катя и Паша: \[ (x + 5) + y = 19 \implies x + y + 5 = 19 \implies x + y = 14. \]

3. Федя и Мотя: \[ x + (y + 6) = 19 \implies x + y + 6 = 19 \implies x + y = 13. \]

4. Федя и Паша: \[ x + y = 19. \]

Теперь, чтобы найти все возможные решения, нужно подставить найденные значения и учесть, что каждое из чисел \( x \) и \( y \) должно быть целым и положительным, и что они не могут быть равны, так как все решения разные.

Рассмотрим первое уравнение, где \( x + y = 8 \):

• \( x = 2 \), \( y = 6 \) (Катя — 7, Мотя — 8).
  • Числа: 2, 7, 6, 8 (подходят, все разные).

Теперь подходим ко второму: \( x + y = 14 \):

• \( x = 7 \), \( y = 7 \) (недопустимо, т.к. не все разные).

Для третьего: \( x + y = 13 \):

• \( x = 6 \), \( y = 7 \) (недопустимо, т.к. повторяется).

И для четвертого, \( x + y = 19 \) (здесь также возможны повторения).

Таким образом, реальный подходящий вариант:

• 2 (Федя) + 7 (Катя) + 6 (Паша) + 8 (Мотя) = 23 задачи.

Итак, количество задач, решенных во всех четырех работах: 23 задачи.