На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в…

Давайте рассмотрим задачу, поставленную перед нами. Мы знаем следующее:

1. Катя решила на 5 задач больше, чем Федя: \( K = F + 5 \).
2. Мотя решил на 6 задач больше, чем Паша: \( M = P + 6 \).
3. Сумма задач, решенных двумя лучшими работами, составляет 19: \( K + M = 19 \).
4. Все четверо решили разное число задач.

Теперь подставим выражения для Кати и Моти в уравнение, где сумма равных 19:

\[ (F + 5) + (P + 6) = 19 \]

Упростим это уравнение:

\[ F + P + 11 = 19 \]

Отсюда,

\[ F + P = 8 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( K = F + 5 \)
2. \( M = P + 6 \)

Чтобы найти все возможные натуральные значения для Феди и Паши, удовлетворяющие уравнению \( F + P = 8 \), рассмотрим различные варианты:

• Если \( F = 1 \), тогда \( P = 7 \):

  • \( K = 1 + 5 = 6 \)
  • \( M = 7 + 6 = 13 \) (значения не удовлетворяют условию о разности.)

• Если \( F = 2 \), тогда \( P = 6 \):

  • \( K = 2 + 5 = 7 \)
  • \( M = 6 + 6 = 12 \)

• Если \( F = 3 \), тогда \( P = 5 \):

  • \( K = 3 + 5 = 8 \)
  • \( M = 5 + 6 = 11 \)

• Если \( F = 4 \), тогда \( P = 4 \):

  • Это значение не подходит, так как всем обязано быть различное количество задач.

Таким образом, соответствующие варианты:

1. \( F = 2, P = 6, K = 7, M = 12 \) — все решения разные.
2. \( F = 3, P = 5, K = 8, M = 11 \) — все решения разные.

Теперь подсчитаем общее количество задач, решенных всеми четырьмя участниками:

1. В первом случае: \( 2 + 6 + 7 + 12 = 27 \)
2. Во втором случае: \( 3 + 5 + 8 + 11 = 27 \)

Таким образом, количество задач, решенных всеми четырьмя участниками, в обоих случаях равно 27.

Ответ: 27 задач.