Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что…

Чтобы определить радиус Луны, мы можем использовать закон всемирного тяготения и формулу для кругового движения спутника.

Скорость \( v \) спутника на круговой орбите задается формулой: \[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \] где:

• \( G \) — gravitational constant (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
• \( M \) — масса Луны,
• \( R \) — радиус Луны.

Также известна связь между массой Луны и ускорением свободного падения на её поверхности \( g \): \[ g = \frac{GM}{R^2} \]

Из этого уравнения можно выразить массу Луны \( M \): \[ M = \frac{g R^2}{G} \]

Теперь подставим это значение в уравнение для скорости: \[ v = \sqrt{\frac{G \cdot \frac{g R^2}{G}}{R}} = \sqrt{g R} \]

Теперь подставим известные значения. Скорость \( v = 1.67 \, \text{км/с} = 1670 \, \text{м/с} \) и \( g = 1.6 \, \text{м/с}^2 \): \[ 1670 = \sqrt{1.6 R} \]

Возведем обе части в квадрат: \[ 1670^2 = 1.6 R \] \[ 2788900 = 1.6 R \] Теперь найдём радиус \( R \): \[ R = \frac{2788900}{1.6} = 1743031.25 \, \text{м} \approx 1743 \, \text{км} \]

Таким образом, радиус Луны составляет примерно 1743 км.