В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Чтобы найти наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, нам сначала нужно вычислить радиус вписанной окружности и затем определить расстояния от вершин до точек касания.

Пусть треугольник \( ABC \) со сторонами \( a = 6 \), \( b = 7 \) и \( c = 8 \).

1. Сначала находим полупериметр \( p \) треугольника: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 7 + 8}{2} = 10.5 \]

2. Теперь вычислим площадь \( S \) треугольника, используя формулу Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{10.5(10.5-6)(10.5-7)(10.5-8)} = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \] Для упрощения расчетов, вычислим это значение: \[ S \approx \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \approx 10.5 \]

3. Далее, радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \approx \frac{10.5}{10.5} = 1 \]

4. Теперь определим расстояния от вершин до точки касания. Для этого используем следующие формулы: \[ d_A = r = 1, \quad d_B = r = 1, \quad d_C = r = 1 \]

Каждое расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно радиусу, который мы нашли. Поскольку радиус одинаков для всех сторон, наименьшее расстояние также будет равно 1.

Таким образом, наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 1.