На олимпиаде Катя,Мотя,Федя и Петя решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди,а Мотя - на 4 задачи больше Паши.Все решили разное количество задач.Учитель послал в…
На олимпиаде Катя,Мотя,Федя и Петя решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди,а Мотя - на 4 задачи больше Паши.Все решили разное количество задач.Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы,в которых в сумме было решено 15 задач.Сколько задач было решено во всех четырёх работах?Укажите все подходящие варианты.
Давайте вместе разберем задачу.
Обозначим количество задач, решенных каждым из участников:
- Пусть Федя решил \( x \) задач.
- Тогда Катя решила \( x + 5 \) задач.
- Обозначим количество задач, решенных Пашей, как \( y \).
- Следовательно, Мотя решил \( y + 4 \) задач.
Из условия нам известно, что суммы задач в двух лучших работах равны 15. Возможные пары, которые могут быть самыми большими, составляют следующее уравнение:
\[ (x + 5) + (y + 4) = 15 \]
Теперь это можно упростить до:
\[ x + y + 9 = 15 \]
Отсюда следует:
\[ x + y = 6 \]
Теперь мы знаем, что сумма задач Феди и Паши равна 6. Поскольку все решили разное количество задач, проверяем возможные целые положительные решения для \( x \) и \( y \):
Если \( x = 1 \), тогда \( y = 5 \) (Федя 1 задача, Паша 5 задач):
- Тогда Катя: \( 1 + 5 = 6 \) (6 задач),
- Мотя: \( 5 + 4 = 9 \) (9 задач).
- В итоге: 1 + 6 + 5 + 9 = 21 задачи.
Если \( x = 2 \), тогда \( y = 4 \) (Федя 2 задачи, Паша 4 задачи):
- Тогда Катя: \( 2 + 5 = 7 \) (7 задач),
- Мотя: \( 4 + 4 = 8 \) (8 задач).
- В итоге: 2 + 7 + 4 + 8 = 21 задачи.
Если \( x = 3 \), тогда \( y = 3 \) (Федя 3 задачи, Паша 3 задачи):
- Это не подходит, так как все числа должны быть разными.
Таким образом, есть два подходящих варианта:
- При \( x = 1 \) и \( y = 5 \): Всего задач 21.
- При \( x = 2 \) и \( y = 4 \): Всего задач также 21.
Итак, количество задач, решенных всеми четырьмя участниками, - 21 задача.
