на олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 4 задачи больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послала в…

Для решения задачи начнем с обозначения количества задач, решённых каждым из героев:

• Пусть \( F \) — количество задач, решённых Федей.
• Тогда Кате, которая решила на 5 задач больше Феди, соответствует \( K = F + 5 \).
• Пусть \( P \) — количество задач, решённых Пашей.
• Мотя решил на 4 задачи больше Паши, значит, его результат будет \( M = P + 4 \).

Согласно условиям, учитель отправила на проверку две лучшие работы, сумма которых равна 15. Поскольку все решили разное количество задач, мы можем рассмотреть различные комбинации из двух самых больших значений.

Сначала запишем общее выражение для всех задач:

\[ S = K + M + F + P = (F + 5) + (P + 4) + F + P = 2F + 2P + 9 \]

Теперь нам нужно найти такие \( K \) и \( M \), чтобы их сумма была равна 15, и чтобы учитывать, что все количества задач различны.

Рассмотрим варианты решений. Поскольку \( K \) и \( M \) — это результаты двух персонажей, которые решали больше всех, то они должны быть больше \( F \) и \( P \).

Пробуем разные комбинации:

1. Если Катя и Мотя — два лучших участника, тогда: \[ (F + 5) + (P + 4) = 15 \] \[ F + P + 9 = 15 \implies F + P = 6 \] При этом \( F \) и \( P \) должны быть отличны. Возможные варианты:

   • \( F = 1, P = 5 \) (тогда \( K = 6, M = 9 \) — подходит)
   • \( F = 2, P = 4 \) (тогда \( K = 7, M = 8 \) — подходит)
   • \( F = 3, P = 3 \) (не подходит, так как это одно и то же число)

2. Возможные варианты (только, когда выиграли Катя и Мотя):

   • \( 1 \) (Федя) + \( 5 \) (Паша) + \( 6 \) (Катя) + \( 9 \) (Мотя) → \( S = 1 + 5 + 6 + 9 = 21 \)
   • \( 2 \) (Федя) + \( 4 \) (Паша) + \( 7 \) (Катя) + \( 8 \) (Мотя) → \( S = 2 + 4 + 7 + 8 = 21 \)

Таким образом, во всех случаях мы видим, что общее количество задач, решённых всеми участниками, равняется 21. Это единственный подходящий вариант.

Ответ во всех полях: 21