Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.

Барабашка произносит числа, начиная с 1, и шкафчики, чьи номера делятся на произносимое число, подпрыгивают. Нам нужно найти первое число, на которое ни один шкафчик не отреагировал, а также определить номер шкафчика, который подпрыгнул наибольшее количество раз.

Шкафчики имеют номера от 73 до 89, т.е. мы будем рассматривать числа в этом диапазоне (73, 74, 75, ..., 89).

1. Первое число, на которое ни один шкафчик не отреагировал: Чтобы понять, когда ни один шкафчик не подпрыгнет, нужно найти такое число, которое больше 89, так как все шкафчики имеют номера от 73 до 89, и ни один из них не может поделиться на число, превышающее 89. Следовательно, первое число, на которое ни один шкафчик не отреагировал, — это 90.

2. Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: Теперь нужно выяснить, какой шкафчик реагировал на наибольшее количество произносимых чисел.

   Для каждого шкафа с номером \( n \) (где \( n \) может быть от 73 до 89) мы должны найти делители \( n \), которые находятся в диапазоне от 1 до \( n \). Поскольку мы ищем, какие числа могут делить номера шкафчиков, посчитаем, сколько раз каждый шкафчик подпрыгнет:

   • Для шкафа 73: делится на 1, 73 — 2 раза
   • Для шкафа 74: делится на 1, 2, 37, 74 — 4 раза
   • Для шкафа 75: делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75 — 6 раз
   • Для шкафа 76: делится на 1, 2, 4, 19, 38, 76 — 6 раз
   • Для шкафа 77: делится на 1, 7, 11, 77 — 4 раза
   • Для шкафа 78: делится на 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 — 8 раз
   • Для шкафа 79: делится на 1, 79 — 2 раза
   • Для шкафа 80: делится на 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 — 10 раз
   • Для шкафа 81: делится на 1, 3, 9, 27, 81 — 5 раз
   • Для шкафа 82: делится на 1, 2, 41, 82 — 4 раза
   • Для шкафа 83: делится на 1, 83 — 2 раза
   • Для шкафа 84: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 — 12 раз
   • Для шкафа 85: делится на 1, 5, 17, 85 — 4 раза
   • Для шкафа 86: делится на 1, 2, 43, 86 — 4 раза
   • Для шкафа 87: делится на 1, 3, 29, 87 — 4 раза
   • Для шкафа 88: делится на 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88 — 8 раз
   • Для шкафа 89: делится на 1, 89 — 2 раза

Теперь сравним количество раз, на которые каждый шкафчик подпрыгнул. Наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик с номером 84, который реагировал 12 раз.

Таким образом, ответ на задачу:

1. Первое число, на которое ни один шкафчик не отреагировал — 90.
2. Шкафчик с номером, который подпрыгнул наибольшее количество раз — 84.