Исследуйте на четность функцию: y = 2x ^ 2 - arcsin x ^ 2

Чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить, выполняется ли следующее условие: функция \( f(x) \) является четной, если для всех \( x \) из области определения функции верно, что \( f(-x) = f(x) \).

Рассмотрим функцию:

\[ y = f(x) = 2x^2 - \arcsin(x^2) \]

Теперь вычислим \( f(-x) \):

1. Подставим \( -x \) в функцию: \[ f(-x) = 2(-x)^2 - \arcsin((-x)^2) \] Поскольку \((-x)^2 = x^2\), получаем: \[ f(-x) = 2x^2 - \arcsin(x^2) \]

2. Сравним \( f(-x) \) и \( f(x) \): \[ f(-x) = 2x^2 - \arcsin(x^2) = f(x) \]

Мы видим, что \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \), для которых выражение определено.

Поскольку функция \( y = 2x^2 - \arcsin(x^2) \) удовлетворяет условию четности, можно сделать вывод, что она является четной функцией.

Таким образом, \( y = 2x^2 - \arcsin(x^2) \) — четная функция.