Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80, от левого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до предпоследнего столбца, поворачивает направо, доходит до третьей…
Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80, от левого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до предпоследнего столбца, поворачивает направо, доходит до третьей снизу строки, поворачивает направо, доходит до четвёртого слева столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 × 8, он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 80 × 80.
Чтобы определить длину пути, который Дима проходит по квадрату 80 × 80, давайте проанализируем его движение по шагам.
Первый шаг: Дима начинает в левом верхнем углу (0,0) и движется вправо по первой строке до предпоследнего столбца. В квадрате 80 × 80 последний столбец - это 79, следовательно, предпоследний столбец - это 78. Длина этого отрезка равна 78 клеткам.
Второй шаг: Затем он поворачивает направо и идет вниз по 79-му столбцу до третьей строки снизу. Если считать строки снизу, то третья строка – это строка 77. Таким образом, Дима проходит 77 - 1 (он начинает с 2-ой строки) = 76 клеток вниз.
Третий шаг: Далее он снова поворачивает направо и идёт влево до четвёртого столбца слева. Четвёртый столбец слева – это столбец 3, следовательно, он пройдет от 78 до 3, что составляет 78 - 3 = 75 клеток.
Четвёртый шаг: Затем он опять поворачивает направо и движется вверх до четвёртой строки сверху. Четвёртая строка сверху – это строка 3. То есть, он будет двигаться с 77 строки (последней) до 3-й строки (удержив внезапный поворот на 1 строку). Это составляет 77 - 4 = 73 клетки.
Дальше мы видим, что последовательность его движений продолжается, и можно заметить, что длина каждого сегмента уменьшается на 1 по каждому направлению, пока он не доберется до центральной клетки.
Итак, длина каждого из отрезков, по которому он проходит, будет составлять:
- Вправо: 78, 75, 72, …
- Вниз: 76, 73, 70, …
- Влево: 75, 72, 69, …
- Вверх: 74, 71, 68, …
Каждый следующий шаг уменьшается на 3 клетки, что образует последовательность. Чтобы найти общее количество клеток в этом пути, нужно учесть все его шаги.
При подсчете всех клеток он обходит 16 раз, если подвести итоги:
\[ Если последовательности представляют собой такую модель, длина пути будет суммирована в 16 шагов, что составляет: 78 + 76 + 75 + 73 + ... \]
Можно также заметить, что путь будет уходить в середину и останавливается на центральной ячейке 4 в 80×80 квадрате. По сути, длина пути будет равна 16, так как он возвращается в начале, объемля на всех направлениях.
Таким образом, длина пути, который пройдет Дима, составит 160 клеток.
