Андрей отправился гулять по квадрату 100 * 100 от левого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по нижней строке до предпоследнего столбца, поворачивает налево, доходит до третьей сверху строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого слева столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 * 8 он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 100 * 100
Чтобы определить длину пути Андрея на квадрате 100 × 100, давайте рассмотрим его движение по следующему алгоритму:
Первый этап: Андрей начинает с нижнего левого угла и движется по нижней строке до предпоследнего столбца. Это значит, что он проходит 99 клеток (от (0, 0) до (0, 99)).
Второй этап: Затем он поворачивает налево и поднимается до третьей строки сверху. Это означает, что он проходит 97 клеток (от (0, 99) до (2, 99)).
Третий этап: Далее он снова поворачивает налево и движется до четвёртого столбца слева. Это переход дает ему 96 клеток (от (2, 99) до (2, 96)).
После этого он продолжает по тому же принципу: каждый раз поворачивая налево и перемещаясь на 1 клетку меньше, чем на предыдущем шаге.
Проанализировав этот шаблон, видим, что на каждом этапе количество клеток, которые Андрей проходит, уменьшается на 2 по сравнению с предыдущим этапом до тех пор, пока не дойдет до одной из центральных клеток.
Запишем последовательность длин:
- 99 (до предпоследнего столбца)
- 97 (подъем до 3-й строки)
- 96 (движение до 4-го столбца)
- 94
- 93
- 92
- ...
Каждый раз происходит уменьшение количества пройденных клеток на 2. Таким образом, длину пути можно выразить как сумму четных чисел (которые уменьшаются) до того момента, пока не дойдет до 1 или 0.
Дано, что в каждой четкости количество пройденных клеток уменьшено на 1.
Чтобы выяснить, когда Андрей дойдет до центра, нужно выяснить, какое количество шагов ему потребуется, чтобы достичь 2.
В данном случае, если мы сложим все пройденные шаги, то длина пути будет равна:
Длина пути = 99 + 97 + 96 + ... + 2
Эта последовательность — арифметическая прогрессия. Мы можем применить формулу для суммы арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
где:
- \( n \) — количество членов,
- \( a_1 \) — первый член (99),
- \( a_n \) — последний член (2).
Чтобы найти количество членов прогрессии, найдём количество четных и нечетных чисел между 1 и 99. Всего это будет 50 четных и 50 нечетных. Таким образом будет \( n = 50 \).
Сейчас мы можем сказать, что сумма пути =
\[ S_{50} = \frac{50}{2} (99 + 2) = 25 \cdot 101 = 2525. \]
Таким образом, длина пути Андрея на квадрате 100 × 100 составляет 2525 клеток.
