В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы решить задачу, нам нужно найти стороны треугольника и расстояния от вершин до точек касания вписанной окружности.

Для треугольника с длинами сторон \(a = 6\), \(b = 7\) и \(c = 8\) сначала находим полупериметр \(s\) треугольника:

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 7 + 8}{2} = 10.5 \]

Теперь можно вычислить радиус вписанной окружности \(r\) по формуле:

\[ r = \frac{S}{s} \]

где \(S\) — площадь треугольника. Площадь \(S\) можно найти, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \] Подставляем значения:

\[ S = \sqrt{10.5(10.5 - 6)(10.5 - 7)(10.5 - 8)} = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \]

Теперь вычислим произведение:

\[ 10.5 \cdot 4.5 = 47.25, \] \[ 3.5 \cdot 2.5 = 8.75, \] \[ 47.25 \cdot 8.75 = 413.4375. \] Теперь вычисляем корень из этого значения:

\[ S \approx \sqrt{413.4375} \approx 20.33. \]

Теперь подставим значение площади в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{20.33}{10.5} \approx 1.937. \]

Теперь найдем расстояния от вершин треугольника до точек касания:

• Для стороны \(a = 6\): \[ d_A = s - a = 10.5 - 6 = 4.5 \]

• Для стороны \(b = 7\): \[ d_B = s - b = 10.5 - 7 = 3.5 \]

• Для стороны \(c = 8\): \[ d_C = s - c = 10.5 - 8 = 2.5 \]

Теперь сравним расстояния: \(d_A = 4.5\), \(d_B = 3.5\), \(d_C = 2.5\).

Таким образом, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно \(2.5\).