На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя — на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в…

Чтобы решить эту задачу, начнём с обозначений:

• Обозначим количество задач, решённых Федей, как \( x \). Тогда количество задач, решённых Катей, будет \( x + 5 \).
• Обозначим количество задач, решённых Пашей, как \( y \). Тогда количество задач, решённых Мотей, будет \( y + 6 \).

Теперь у нас есть такие выражения для каждого учащегося:

• Катя: \( x + 5 \)
• Федя: \( x \)
• Мотя: \( y + 6 \)
• Паша: \( y \)

Мы знаем, что сумма задач, решённых двумя лучшими работами, равна 19. Давайте рассмотрим разные сочетания этих переменных, чтобы найти подходящие варианты.

1. Сочетание Катя и Мотя: \[ (x + 5) + (y + 6) = 19 \\ x + y + 11 = 19 \\ x + y = 8 \]

2. Сочетание Катя и Паша: \[ (x + 5) + y = 19 \\ x + y + 5 = 19 \\ x + y = 14 \]

3. Сочетание Федя и Мотя: \[ x + (y + 6) = 19 \\ x + y + 6 = 19 \\ x + y = 13 \]

4. Сочетание Федя и Паша: \[ x + y = 19 \quad \text{(это невозможно, так как x и y должны быть меньше 19)} \]

Теперь у нас есть три системы уравнений:

• 1: \( x + y = 8 \) (лучшие: Катя и Мотя)
• 2: \( x + y = 14 \) (лучшие: Катя и Паша)
• 3: \( x + y = 13 \) (лучшие: Федя и Мотя)

Теперь подберем значения \( x \) и \( y \):

1. Для \( x + y = 8 \):

   • Пусть \( x = 1 \) и \( y = 7 \):
     • Тогда получим задачи: Катя \( 6 \), Федя \( 1 \), Мотя \( 13 \), Паша \( 7 \).
   • Сумма: \( 6 + 1 + 13 + 7 = 27 \).

2. Для \( x + y = 14 \):

   • Пусть \( x = 9 \) и \( y = 5 \):
     • Тогда получим: Катя \( 14 \), Федя \( 9 \), Мотя \( 11 \), Паша \( 5 \).
   • Сумма: \( 14 + 9 + 11 + 5 = 39 \).

3. Для \( x + y = 13 \):

   • Пусть \( x = 7 \) и \( y = 6 \):
     • Тогда получим: Катя \( 12 \), Федя \( 7 \), Мотя \( 12 \), Паша \( 6 \) (но не может быть одинакового количества задач).
   • Попробуем другие пары.

Таким образом, найденные варианты решений, где все получили разные числа задач:

1. \( 27 \) задач (вариант 1)
2. \( 39 \) задач (вариант 2)

Подходящие варианты для общего количества задач, решённых всеми четырьмя участниками:

• 27
• 39

Запишите их в отдельных полях, как указано.