Имеется 12 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 12 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Для решения этой задачи давайте начнем с анализа условий. У нас есть 12 коробок, и в каждой коробке есть хотя бы один синий и один красный шарик. Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( b_i \), а количество красных шариков как \( r_i \). Разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке будет равна \( |b_i - r_i| \).

Заметим, что по условию задачи, все 12 чисел, которые Коля записал, должны быть различными. Заметим также, что для каждой коробки разница между количеством шариков не может быть меньше 1, поскольку в каждой коробке есть хотя бы один шарик каждого цвета. Таким образом, возможные отличия могут принимать значения от 1 до 12.

Чтобы получить различные числа от 1 до 12, для первой коробки, например, мы можем взять разницу 1 (то есть \( |b_1 - r_1| = 1 \)), для второй — 2 (то есть \( |b_2 - r_2| = 2 \)), и так далее, до 12-й коробки, где \( |b_{12} - r_{12}| = 12 \).

Теперь, определим, чтобы соблюсти условие, что общее количество красных и синих шариков одинаково. Это возможно, если:

\[ \sum_{i=1}^{12} b_i = \sum_{i=1}^{12} r_i \]

Для достижения минимального суммарного количества шариков, нам нужно использовать минимально возможные значения для \( b_i \) и \( r_i \). Для каждой коробки можно установить:

• Если \( |b_i - r_i| = k \) (где \( k \) — это разница от 1 до 12), то можно задать \( b_i = m + k \) и \( r_i = m \), где \( m \) — минимальное количество шариков, которое можно взять для равенства сумм красных и синих шариков.

Теперь, давайте определим примерное количество:

• Для коробки с разницей 1: \( b_1 = 2, r_1 = 1 \) (итого 3).
• Для коробки с разницей 2: \( b_2 = 3, r_2 = 1 \) (итого 4).
• Для коробки с разницей 3: \( b_3 = 4, r_3 = 1 \) (итого 5).
• И так далее.

Соберем:

• Числа для \( b \) от 2 до 13 (поскольку 1, 2, ..., 12 соответствуют 1, 2, ..., 12 в сумме).
• Числа для \( r \): 1 в первой коробке, увеличиваем по аналогии.

Посчитаем общее количество: 1 + 2 + 3 + ... + 12 = \( \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \)

Каждый раз мы можем установить, что количество синих и красных шариков будет уравновешено, что очень важно.

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех 12 коробках, если учитывать все условия, будет равно 78 (для каждой пары по 3-4 шарика). Поэтому, общее число шариков — \( 78 \).

Ответ: минимальное количество шариков равно 78.