Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…
Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 13 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков акое же, как общее количество синих?
Для решения этой задачи давайте внимательно проанализируем условия. У нас есть 13 коробок, в каждой из которых находятся по крайней мере один синий и один красный шарик. Коля вычисляет разницу между количеством шариков разных цветов и записывает эти значения на коробках. У нас есть 13 различных значений разницы.
Пусть в коробке \(i\) будет \(b_i\) синих и \(r_i\) красных шариков. Так как в каждой коробке по крайней мере по одному шарики каждого цвета, то \(b_i \geq 1\) и \(r_i \geq 1\). Разница, которую Коля записывает в каждой коробке, равна \(|b_i - r_i|\). Поскольку каждое значение разницы уникально и их 13, это означает, что возможные разницы составляют числа от 1 до 13.
Теперь мы можем выразить разницу как: \[ d_i = |b_i - r_i| \]
Если \(b_i > r_i\), то \(d_i = b_i - r_i\), а если \(b_i < r_i\), то \(d_i = r_i - b_i\). Из этого следует, что для каждой коробки мы можем рассмотреть 13 уникальных разниц:
- \(d_1 = 1\)
- \(d_2 = 2\)
- \(d_3 = 3\)
- …
- \(d_{13} = 13\)
Чтобы минимизировать общее количество шариков, давайте использовать минимально возможные количество шариков в каждой коробке:
- Для коробки с \(d_i = 1\): допустим \(b_1 = 2\), \(r_1 = 1\) (всего 3 шарика).
- Для коробки с \(d_i = 2\): допустим \(b_2 = 3\), \(r_2 = 1\) (всего 4 шарика).
- Для коробки с \(d_i = 3\): допустим \(b_3 = 4\), \(r_3 = 1\) (всего 5 шариков).
- И так далее, вплоть до 13:
- Для \(d_{13} = 13\): допустим \(b_{13} = 14\), \(r_{13} = 1\) (всего 15 шариков).
Теперь давайте посчитаем общее количество шариков в каждой коробке:
\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 \]
Это сумма арифметической прогрессии от 3 до 15. Сумма \(S\) может быть посчитана как:
\[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]
где \(n\) - количество членов (в нашем случае 13), \(a_1\) - первый член (3), \(a_n\) - последний член (15):
\[ S = \frac{13}{2} \times (3 + 15) = \frac{13}{2} \times 18 = 13 \times 9 = 117 \]
Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках составит 117.
