Сколькими способами можно определить стартовый состав команды (5 человек) для игры в баскетбол из 9 человек? Сколько шестизначных нечетных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 7, 8, в записи которых все цифры различны? Учащиеся 9 класса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 5 различных уроков. В классе учатся 13 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно выделить 5 мальчиков и 3 девочки для уборки территории?

Определение стартового состава команды (5 человек) для игры в баскетбол из 9 человек:

Это задача на сочетания, так как порядок выбора не имеет значения. Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество человек, \( k \) — количество выбираемых человек.

В нашем случае \( n = 9 \), \( k = 5 \):

\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \]

Ответ: 126 способов.

Количество шестизначных нечетных чисел из цифр 0, 2, 4, 6, 7, 8 с различными цифрами:

Шестизначное число должно заканчиваться на нечетную цифру. Из доступных цифр нечетной является только цифра 7. Таким образом, последняя цифра фиксирована как 7.

Оставшиеся цифры для первой позиции могут быть выбраны из 0, 2, 4, 6, 8, что дает нам 5 цифр. При этом первая цифра не может быть 0 (иначе число станет пятизначным).

Рассмотрим выбор:

1. Первую цифру можно выбрать из 4 оставшихся (0, 2, 4, 6, 8, но без 7 и 0);
2. Две оставшиеся цифры могут быть выбраны из оставшихся 4 цифр.

Это можно описать так:

• Выбор первой цифры (из 2, 4, 6, 8) - 4 варианта.
• Вторая цифра - 4 варианта (из 4 оставшихся цифр).
• Третья цифра - 3 варианта, четвертая - 2 варианта.

Итак, количество способов составления числа будет:

\[ 4 \cdot 4! = 4 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 4 \cdot 24 = 96. \]

Ответ: 96 нечетных шестизначных чисел.

Составление расписания уроков на один день из 12 предметов, чтобы было 5 различных уроков:

Это задача на выбор и расположение, где порядок имеет значение. Сначала выбираем 5 предметов из 12:

\[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792. \]

Затем эти 5 предметов можно расположить в расписании 5! способами:

\[ 5! = 120. \]

Общее количество способов:

\[ 792 \cdot 120 = 95040. \]

Ответ: 95040 способов.

Выбор 5 мальчиков и 3 девочек для уборки территории из класса:

Для мальчиков используем сочетания:

\[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1287. \]

Для девочек:

\[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165. \]

Общее количество способов будет равно произведению способ выбора мальчиков и способа выбора девочек:

\[ 1287 \cdot 165 = 212355. \]

Ответ: 212355 способов.