Даны a , b>0. Точки пересечения прямых y=ax+a, y=ax+b, y=bx+a и y=bx+b образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 30.…

Чтобы найти максимальную ординату вершин четырёхугольника, образованного пересечениями прямых \( y = ax + a \), \( y = ax + b \), \( y = bx + a \) и \( y = bx + b \), начнём с нахождения координат вершин этого четырёхугольника.

1. Пересечение прямых \( y = ax + a \) и \( y = bx + a \): \[ ax + a = bx + a \implies (a - b)x = 0 \implies x = 0. \] Подставляем \( x = 0 \) в одно из уравнений: \[ y = a \implies A(0, a). \]

2. Пересечение прямых \( y = ax + a \) и \( y = bx + b \): \[ ax + a = bx + b \implies (a - b)x = b - a \implies x = \frac{b - a}{a - b} = -1. \] Подставляем \( x = -1 \) в одно из уравнений: \[ y = a(-1) + a = 0 \implies B(-1, 0). \]

3. Пересечение прямых \( y = ax + b \) и \( y = bx + a \): \[ ax + b = bx + a \implies (a - b)x = a - b \implies x = 1. \] Подставляем \( x = 1 \) в одно из уравнений: \[ y = a(1) + b = a + b \implies C(1, a + b). \]

4. Пересечение прямых \( y = ax + b \) и \( y = bx + b \): \[ ax + b = bx + b \implies (a - b)x = 0 \implies x = 0. \] Подставляем \( x = 0 \): \[ y = b \implies D(0, b). \]

Теперь у нас есть вершины:

• \( A(0, a) \)
• \( B(-1, 0) \)
• \( C(1, a + b) \)
• \( D(0, b) \)

5. Найдем точку пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \): Уравнение линии \( AC \): начинается в точке \( A(0, a) \) и заканчивается в точке \( C(1, a + b) \). Уравнение: \[ y - a = (a + b - a)(x - 0) \implies y = (b)x + a. \]

   Уравнение линии \( BD \): начинается в точке \( B(-1, 0) \) и заканчивается в точке \( D(0, b) \). Уравнение: \[ y - 0 = \left(b - 0\right)\left(x + 1\right) \implies y = b(x + 1). \]

   Приравняем уравнения: \[ (b)x + a = b(x + 1). \] Упрощая это уравнение: \[ bx + a = bx + b \implies a = b. \]

   Теперь, подставляя \( a \) в положение, где ордината центроидов равна 30: \[ y = b \implies 30 = b, \] поэтому \( a = 30 \).

6. Теперь находим максимальную ординату вершин:

• \( A(0, 30) \)
• \( B(-1, 0) \)
• \( C(1, 30 + 30) = (1, 60) \)
• \( D(0, 30) \)

Максимальная ордината среди вершин \( 30 \) и \( 60 \) равна \( 60 \).

Таким образом, максимальная ордината вершин четырёхугольника представляется следующей дробью: \[ \boxed{60}. \]